必修五：等比数列
知识点一：等比数列的定义、等差中项和通项公式
1.等比数列的定义：2. 通项公式： an?a1qn?1an?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?， 首项：a1；公比：q qn?m推广：an?amqn?m， 从而得q?ana或q?n?mn amam 等比数列通项公式an?a1q为公比q（q?1）。 3. 等比中项
n?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是关于n的带有系数的类指数函数，底数q 如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?ab或A??ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） 数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1
2【典型例题】
1.等比数列{an} 中，a6＝6，a9＝9，则a3等于( )
316
A．3 B. C. D．4
29
2. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )
A．64 B．81 C．128 D．243 3. 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝______ .
4. 已知数列{an}的通项公式为an??2n，则数列{an} 等比数列数列（填是或者不是），若是则该数列的首项a1? ，公比q? . 5.设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，则A.
2a1?a2的值为（ ）
2a3?a4C．
1 4 B．
1 2
1 8）
D．1
6、等比数列?an?中，a2?a3?6,a2a3?8,则q?（
1
A．2 B．
1 2 C．2或
1 2
D．－2或?1 2
【习题实践】
1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1＝( )
12
A. B. C.2 D．2 22
2．如果将20、50、100各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比是（ ） A．12 B．32 C．43 D．53 3．数列?an?的前n项和记为Sn，已知an?5Sn?3?n?N*?，求数列?an?的通项公式．
4.设S2n为数列?an?的前n项和，Sn?kn?n,n?N*，其中k是常数． (1)求a1和an；
(2)若对于任意的m?N*,am,a2m,a4m成等比数列，求k的值．
知识点二：等比数列的前n项和Sn
等比数列的前n项和Sn公式： (1) 当q?1时， Sn?na1 (2) 当q?1时，Sa1?1?qn?a1?anqn?1?q?1?q
2
a11?qna1?a1qnaa前n项Sn?系数和常数项是互为相反数的类??1?1qn?A?Bn?A，
??1?q1?q1?q1?q指数函数，底数为公比q。
【典型例题】
1. 设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝7，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( ) A．63 B．64 C．127 D．128 2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1，则a8＝___________. 3. 若等比数列{ann}的前项之和为Sn?3?a，则a等于（ ） A．3
B．1
C．0
D．?1
4. 设Sn为等比数列?an?的前项和，已知3S3?a4?2，3S2?a3?2，则公比q? A.3
（B）4
（C）5
（D）6
5. 设等比数列{aq＝2，前n项和为SSn}的公比n，则4a＝( )
2
A.2 B.4 C.1517
2 D.2
6. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3则a4＝________. 7. 设f(n)＝a＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋
10(a≠0，n∈N)，则f(n)＝________. 8. 数列?an?是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n．
【习题实践】
1.设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋
1(n∈N)，则f(n)等于( )
A.
2?8n?1? B.2?8n?1?1? C. 2?8n?3?1? D.28n?47777??1? 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
3.已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于( )
A．50 B．70 C．80 D．90 4.已知数列?a8n?为等比数列，若
aa?2，S4?4，则S8等于( ) 4A．12 B．24 C．16
D．32
3
5．已知等比数列前n项和为Sn，
S1031，则数列的公比为________． ?S5322226．等比数列{?an?的前n项和Sn?5n?1,则a1=( ) ?a2???anA．25n?1 B．5??2n?1 C．
222n?15?1 D．?52n?1?
33??7．在等比数列{an}中，S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20=_________
8. 若数列{an}的前n项和为Sn?3n?1，则数列{an}的通项公式为___________;
9.若等比数列{an}中，a1?1,an??512，前n项的和为Sn??341，则公比q=______，项数n=____________；
10. 在等比数列?an?中，（1）已知S2?30,S3?155，求?an?和Sn；（2）已知Sn?2?n?1,求?an?和a4
知识点三：等比数列的证明方法、判定方法和性质
1. 等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n,都有an?1?qan或2an?1?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数列 ； an（2） 等比中项：an?an?1an?1（an?1an?1?0）?{an}为等比数列； （3） 通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列；
（4） 前n项和公式：Sn?A?Bn?A(A,B为常数)?{an}为等比数列；
4
2. 等比数列的证明方法 依据定义：若
an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列。 an?13. 等比数列的性质
（1）若m?n?s?tm,n,s,t?N*,则an?am?as?at.特别的,当m?n?2k时,得an?am?ak2 注：a1?an?a2?an?1?a3an?2??? （2）若数列{an},{bn}为等比数列,则 ①数列{??ak},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n} (k为非零常数) 均为等比数列；
bnan* ②数列{an}为等比数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列； ③若{an}为等比数列,则数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比数列
④若{an}为等比数列,则数列a1?a2?????an, an?1?an?2?????a2n, a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列； ⑤ 如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列 (3) ①当q?1时， ②当0 a1?0，则{an}为递减数列1?0，则{an}为递增数列{a{a1?0，则{an}为递减数列, a1?0，则{an}为递增数列 ③当q?1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q?0时,该数列为摆动数列. (4)在等比数列{an}中, 当项数为2nn?N时, ?*?S奇1?. S偶q(5)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn?m?Sn?qn?Sm. 【典型例题】 1. 已知Sn是数列{an}的前n项和Sn?P(P?R,n?N),那么{an}（ ） A.是等比数列 B．当时P?0是等比数列 C.当P?0,P?1时是等比数列 D．不是等比数列 2.已知{an}是等比数列，且an?0，a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5?（ ） 5 n?
必修五--等比数列的知识点归纳和习题训练
