2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实
验中学）高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
?1?1．（5分）已知集合A?{x|x2?2x?3?0}，B??x|?1?，则eR(AUB)?( )
?x?A．(??，?1)?(3，??) C．[3，??)
2．（5分）已知复数z?a?bi(a,b?R)，系式为( ) A．a?b?0
B．a?b?0
B．(??，?1]U[3，??) D．(??，?1]U[1，??)
z是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关i?1C．a?2b?0 D．a?2b?0
3．（5分）已知?，?是两个不同的平面，直线m??，下列命题中正确的是( ) A．若???，则m//? 则?//?
B．若???，则m?? C．若m//?，
D．若m??，则???
4．（5分）大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n?13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是( ) A．9
B．10
C．11
D．12
5．（5分）已知a?ln3，b?log3e，c?log?e（注:e为自然对数的底数），则下列关系正确的是( ) A．b?a?c
B．c?b?a
C．b?c?a
D．a?b?c
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uuuruuuruuur1uuur6．（5分）已知在边长为3的等边?ABC的中，BD?DC，则ADgAC?( )
2A．6 B．9 C．12 D．?6
7．（5分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，FC?平面ABCD，ED?平面ABCD，ED?2FC?2，则四面体A?BEF的体积为( )
1A．
3B．
2 3C．1 D．
4 38．（5分）已知函数f(x)?sin2x?3cos2x的图象向右平移?(0???)个单位后，其图
2象关于y轴对称，则??( ) A．
??12 B．
? 6C．
? 3D．
5? 12x2y2a29．（5分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0,b)，直线x?abcuuuruuuruuur上存在一点P满足(FP?FA)gAP?0，则椭圆的离心率取值范围为( )
1A．[,1)
2B．[2,1) 2C．[5?1,1) 2D．(0,2] 210．（5分）已知定义在R上的函数f(x)，满足f(1?x)?f(1?x)，当x?[1，??)时，?1?|x?2|,x?[1,3)1?lnx,x…?g(x)?，则函数的图象与函数的图象在区f(x)f(x)???x?1ln(2?x),x?12f(),x?[3,??)???2间[?5，7]上所有交点的横坐标之和为( ) A．5
B．6
C．7
D．9
11．（5分）已知数列{an}的通项公式为an?2n?2，将这个数列中的项摆放成如图所示的
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?n?数阵，记bn为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列??的前2020
?bn?项和为( )
A．
1011 2020B．
22019 2020C．
2020 2021D．
1010 2021y212．（5分）已知双曲线x??1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且
3?F1PF2?120?，?F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|?( )
A．5 5B．25 5C．35 5D．5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．（5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 ． 14．（5分）已知函数f(x)?ex?ae?x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为 ．
2(n…2,n?N*)，则an? ． 15．（5分）数列{an}满足a1?1，an(2Sn?1)?2Sn16．（5分）已知函数f(x)?(x2?a)2?3|x2?1|?b，当 时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有 ．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①a??1359②?a?③a?1，?2?b?0④a?1，??b??2或b?0⑤4个极小值点⑥12224第3页（共30页）
个极小值点⑦6个零点⑧4个零点
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.
17．（12分）在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC?2a?c． （Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a?2，D为AC的中点，且BD?3，求c．
18．（12分）如图，三棱柱A1B1C1?ABC中，BB1?平面ABC，AB?BC，AB?2，BC?1，BB1?3，D是CC1的中点，E是AB的中点．
（Ⅰ）证明：DE//平面C1BA1；
1（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角
3F?BA1?A的余弦值．
19．（12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：
数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；
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数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．
（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？
（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？
患心脑血管疾病 不患心脑血管疾病 合计 参考数据如表：
失眠 不失眠 合计 P(K2…k0) k0 0.50 0.455 0.05 3.841 20.40 0.708 0.025 5.024 0.25 1.323 0.010 6.635 0.15 2.072 0.005 7.879 0.10 2.706 0.001 10.828 P(K2…k0) k0 n(ad?bc)2参考公式：K?．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)1120．（12分）已知以动点P为圆心的eP与直线l:x??相切，与定圆eF:(x?1)2?y2?42相外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；
（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N(MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记?AMM1、?AMN、?ANN1的面积分别为S1、S2、
2?4S1S3，证明：直线MN过定点． S3，且S2第5页（共30页）
2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)
