2020年全国高考数学 第19讲 解三角形
考纲解读
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
能够运用正弦定理、余弦定理等 知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
命题趋势探究
1.本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现，并越来越成为三角函数部分的核心考点.
2.题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三是最值问题. 题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度.
知识点精讲
在?ABC中，角A,B,C所对边依次为a,b,c. 1.角的关系
A?B?C?180o,sinA?sin(B?C)cosA??cos(B?C),tanA??tan(B?C),
AB?CAB?C?cos,cos?sin. 22222.正弦定理 abc???2R(2R为?ABC的外接圆的直径）. sinAsinBsinC 正弦定理的应用：
①已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角： sin??1,无解???sinB??1,B?；若a 3.余弦定理 c2?a2?b2?2abcosC（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c） a2?b2?c2cosC?（已知三边求角）. 2ab余弦定理的应用： ①已知两边及夹角求解第三边； ②已知三边求角； ③已知两边及一边对角不熟第三边. 4.三角形面积公式 1111S?ABC?ah?absinC?bcsinA?acsinB. 2222 1 题型归纳及思路提示 题型67 正弦定理的应用 思路提示 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；. ?大角求小角一解（锐）?1?两解－sinA?（一锐角、一钝角）? ??小角求大角－一解－sinA?1（直角）???无解－sinA?1???（3）两边一对角，求第三边. 一、利用正弦定理解三角形 53例4.39 已知?ABC中，cosA?,sinB?,a?1求cosC及边长c 135 变式1 在?ABC中，角A,B,C所对边依次为a,b,c,a?2,b?2,sinB?cosB?2,则角Ａ的大小 为 例4.40 在?ABC中，角A,B,C所对边依次为a,b,c,?B?30o,c?6,记b?f(a).若函数 g(a)?f(a)?k(k是常数）只有一个零点，则实数k的取值范围是（ ）. A.{k0?k?3或k?6} B.{k3?k?6} C.{kk?6} D.{kk?6或k?3} 变式1 （1）在?ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b?32,a?2, 如果三角形有解，则角A的 取值范围是 ; （2）在?ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b?1,a?2,如果三角形有解，则角B的取值 范围是 ; （3）在?ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a?23,c?3,如果三角形有解，则角C的 取值范围是 . 二、利用正弦定理进行边角转化 例4.41 在?ABC中，若A=2B，则 a的取值范围为（ ）. bA.(1,2) B.(1,3) C.(2,2) D.(2,3) 2 变式1 a的取值范围为 ; ba?ABC（2）若在直角中，若A=2B，则的取值集合为 ; ba（3）若在钝角?ABC中，若A=2B，则的取值集合为 . b （1）若在锐角?ABC中，若A=2B，则 变式2 在?ABC中，B?60o,AC?3，则AB+2BC的最大值为 . 变式3 已知a,b,c,分别为?ABC三个内角A,B,C的对边，acosC?3asinc?b?c?0， （1）求A；（2）若a?2，?ABC的面积为3，求b,c. 变式4 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A?（1）求证：B?C????，bsin(?C)?csin(?B)?a, 444?2;（2）若a?2，求?ABC的面积. 题型68 余弦定理的应用 思路提示 (1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边. (2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， ??0,则?ABC为锐角三角形?若余弦值??0,则?ABC为直角三角形. ??0,则?ABC为钝角三角形? 一、利用余弦定理解三角形 例4.42 在 ?ABC中， b?1,c?3,?C? 2?，则①a= . ② ?B?______. 3 3 变式1在 ?ABC中， a?3,b?26,?B?2?A,， (1)求cosA的值；（2）求 c 的值. 变式2 在 ?ABC中，若a?2,b?c?7,cosB?? 变式3 已知?ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为 . 例4.43 在?ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2?b?2c2，则cosC的最小值为 21，则b?______. 4,1132C.D.? A.B.2222 变式1 在?ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a?c?1.?B?30o，求b的取值范围。 变式2 在?ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,若b?4.?B?60o,，求S?ABC的最大值。 二、利用余弦定理进行边角转化 例4.44在?ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,若(a2?c2?b2)tanB?3ac,则角B的值为（ ）. A.?6 B.?3 C.?6或 5??2? D.或 633 变式1在?ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC. （1）求A的值；（2）求sinB+sinC的最大值. batanCtanC+=______. 变式2 在锐角三角形中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,若+=6cosC，则 abtanAtanB 变式3在?ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a2-c2=2b,sinAcosC=3cosAsinC，求b. 4 题型69 判断三角形的形状 思路提示 （1）求最大角的余弦，判断?ABC是锐角、直角还是钝角三角形. （2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形. 例4.45 在?ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必为（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 变式1设?ABC的内角为A,B,C所对边分别为a,b,c,若bcosC?ccosB?asinA, 则?ABC的形状为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 变式2 在?ABC中，若sin2A?sin2B?sin2C，则?ABC的形状为（ ）. A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 b?c2A?变式3已知?ABC中，cos，则?ABC的形状为（ ）. 22cA.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形 变式4 （1）已知函数f(x)?cos2x?23sinxcosx?sin2x.求f(x)的最小正周期和值域； A（2）在?ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,若f()?2且a2?bc，试判断?ABC的形状. 2 题型70 正、余弦定理与的综合 思路提示 先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解. uuuruuuruuuruuur例4.46在?ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且AB?AC?BA?BC?1. （1）求证：A?B; （2）求边长c的值； uuuruuur（3）若AB?AC?6，求?ABC的面积. 5
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