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【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
19．（9分）（2017?河南）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，
≈1.41）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】如图作CE⊥AB于E．设AE=EC=x，则BE=x﹣5，在Rt△BCE中，根据tan53°=
，可得=
，求出x，再求出BC、AC，分别求出A、B两船到C的
时间，即可解决问题．
【解答】解：如图作CE⊥AB于E．
在Rt△ACE中，∵∠A=45°，
∴AE=EC，设AE=EC=x，则BE=x﹣5，
_*
在Rt△BCE中， ∵tan53°=∴=
，
，
解得x=20， ∴AE=EC=20， ∴AC=20BC=
=28.2， =25，
=0.94小时，B船到C的时间=
=1小时，
∴A船到C的时间≈
∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20．（9分）（2017?河南）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 y=﹣x+4 ，反比例函数的解析式为 y= ； （2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先将B（3，1）代入反比例函数即可求出k的值，然后将A代入反比例函数即可求出m的，再根据B两点的坐标即可求出一次函数的解析式． （2）设P的坐标为（x，y），由于点P在直线AB上，从而可知PD=y，OD=x，由
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题意可知：1≤x≤3，从而可求出S的范围 【解答】解：（1）将B（3，1）代入y=， ∴k=3，
将A（m，3）代入y=， ∴m=1， ∴A（1，3），
将A（1，3）代入代入y=﹣x+b， ∴b=4， ∴y=﹣x+4
（2）设P（x，y）， 由（1）可知：1≤x≤3， ∴PD=y=﹣x+4，OD=x， ∴S=x（﹣x+4），
∴由二次函数的图象可知： S的取值范围为：≤S≤2 故答案为：（1）y=﹣x+4；y=．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
21．（10分）（2017?河南）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同． （1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
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【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答）
（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种魔方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，根据两种活动方案即可得出w
活动一
、w
活动二
关于m的函数关系式，再
分别令w活动一＜w活动二、w活动一=w活动二和w活动一＞w活动二，解出m的取值范围，此题得解．
（按购买3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答）
（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种魔方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，根据两种活动方案即可得出w
活动一
、w
活动二
关于m的函数关系式，再
分别令w活动一＜w活动二、w活动一=w活动二和w活动一＞w活动二，解出m的取值范围，此题得解．
【解答】（按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答） 解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个， 根据题意得：解得：
．
，
_*
答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个．
（2）设购进A种魔方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，
根据题意得：w活动一=20m×0.8+15（100﹣m）×0.4=10m+600； w活动二=20m+15（100﹣m﹣m）=﹣10m+1500． 当w活动一＜w活动二时，有10m+600＜﹣10m+1500， 解得：m＜45；
当w活动一=w活动二时，有10m+600=﹣10m+1500， 解得：m=45；
当w活动一＞w活动二时，有10m+600＞﹣10m+1500， 解得：45＜m≤50．
综上所述：当m＜45时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=45时，选择两种活动费用相同；当m＞45时，选择活动二购买魔方更实惠． （按购买3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答）
解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个， 根据题意得：解得：
．
，
答：A种魔方的单价为26元/个，B种魔方的单价为13元/个．
（2）设购进A种魔方m个（0≤m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，
根据题意得：w活动一=26m×0.8+13（100﹣m）×0.4=15.6m+520； w活动二=26m+13（100﹣m﹣m）=1300． 当w活动一＜w活动二时，有15.6m+520＜1300， 解得：m＜50；
当w活动一=w活动二时，有15.6m+520=1300， 解得：m=50；
当w活动一＞w活动二时，有15.6m+520＞1300， 不等式无解．
综上所述：当m＜50时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=50时，选择两种
2017年度河南地区中考数学试卷
