准则三：设有正项级数收敛.
.如果极限存在，那末当λ＜1时级数收敛，λ＞1时级数
注意：此准则就是达朗贝尔准则.这种判定方法称为检比法.
例如：级数是收敛的，因为当n→∞时，.
准则四(柯西准则)：如果极限散.
存在，那末当λ＜1级数收敛，λ＞1级数发
例如：级数是发散的，因为当n→∞时，
一般常数项级数的审敛准则
当级数中的正数项与负数项均为无穷多时，就称级数为一般常数项级数. 绝对收敛与条件收敛 设有一般常数项级数
取各项的绝对值所构成的级数
称为对应于原级数的绝对值级数.
绝对收敛的准则：如果对应的绝对值级数收敛，那末原级数也收敛. 注意：此时称
为绝对收敛，
如果级数 则称
关于绝对收敛与条件收敛的问题
发散而级数为条件收敛。
收敛，
一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的； 一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。
例题：证明：当λ>1时，级数为一绝对收敛级数.
证明：因为收敛.
≤而当λ>1时收敛，故级数收敛，从而级数绝对
交错级数与它的审敛准则
交错级数就是任一相邻的两项都是符号相反的数，它是一般常数项级数的一种特殊级数.
交错级数可以写成：
交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)：
如果且，那末级数收敛.
例如：交错级数及
是收敛的，因为它满足莱布尼兹准则的两个条件：
函数项级数、幂级数
在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时，经常用到不是常数项的级数，而是函数项的级数.而常数项级数是研究函数项级数的基础。 函数项级数的概念 设有函数序列，
，其中每一个函数都在同一个区间I上有定义，那末
表达式称为定义在I上的函数项级数。
下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数：
它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中cn(n=0,1,2,…)均为常数. 显然，当上面级数中的变量x取定了某一个值x0时，它就变为一个常数项级数。 幂级数的收敛问题
与常数项级数一样，我们把
称为幂级数的部分和。如果这部分和当
n→∞时对区间I中的每一点都收敛，那末称级数在区间I收敛。此时sn(x)的极限是定义在区间I中的函
数，记作:s(x). 这个函数s(x)称为级数的和函数，简称和，记作：
对于幂级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幂级数的收敛的判定准则。
幂级数的审敛准则
准则：设有幂级数敛；当
.如果极限，那末，当时，幂级数收敛，而且绝对收
时，幂级数发散，其中R可以是零，也可以是+∞.
.在这个区间内级数收敛，在
由上面的准则我们可知：幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间这个区间外级数发散.区间 关于此审敛准则问题
讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求。当行讨论。
称为幂级数的收敛区间，简称敛区。正数R为幂级数的收敛半径.
时，级数的敛散性不能由准则来判定，需另
例题：求幂级数
解答：该级数的收敛半径为：
的收敛区间.
所以此幂级数的敛区是（-5，5）.
在x=5与x=-5，级数分别为 故级数的收敛区间是[-5,5) 幂级数的性质
前者发散，后者收敛.
性质1：设有两个幂级数与，如果
=f1(x)，-R1 =f2(x)，-R2 则=f1(x)±f2(x)，-R 性质2：幂级数的和s(x)在敛区内时连续的. 性质3：幂级数的和s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式： 求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 = 性质4：幂级数的和s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式： 积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导,逐项积分。 函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ； 问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数， 我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ……………………………………………… ， ………………………………………………
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