例题：求方程y\的通解。 解答：一次积分得：
二次积分即得到方程得通解：
2.右端不显含y的方程：y\
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是代入原方程得：
，
这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。
例题：求方程 解答：令y'=p.
的通解。 ，代入方程，得
分离变量后，得
积分，得
.即
再积分，即得原方程的通解：
3.右端不显含x的方程：y\
.
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有
代入原方程，得
这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。
例题：求方程的通解
解答：令代入原方程得：
它相当于两个方程：
由第一个方程解得：y=C;
第二个方程可用分离变量法解得 p =C1y 从而
由此再分离变量，解得：
这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）
线性微分方程解的结构
我们以二阶方程为例来说明线性方程解的结构，当然这些结论也适合于高阶线性微分方程。 二阶线性方程的一般形式为
其中y\都是一次的，否则称为二阶非线性方程。 线性齐次方程解的结构
二阶线性齐次方程的形式为：
定理：如果函数均是方程
也是该方程的解，其中C1,C2为任意常数。
的解，那末
线性齐次方程的这一性质，又称为解的叠和性。 问题：我们所求得的解呢？
一般来说，这是不一定的，那么什么情况下它才是方程的通解呢？为此我们由引出了两个概念：线性相关与线性独立。
是不是方程的
通解
定义：设是定义在区间I的两个函数，如果，那末称此两
函数在区间I线性相关，否则，即独立或线性无关。
之比不恒等于一个常数，那末称此两函数线性
为此我们有了关于线性齐次方程特解的定理。 定理：如果
是二阶线线性齐次方程的任意两个线性独立的特解，那末
就是该方程的通解，其中C1,C2为任意常数。
线性非齐次方程解的结构
二阶线性非齐次方程的形式为：
对于一阶线性非齐次方程我们知道，线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程通解之和。那末这个结论对高阶线性非齐次方程适合吗？ 答案是肯定的。为此我们有下面的定理。 定理：设y是二阶线性非齐次方程
应的齐次线性方程的通解，那末 y=y+Y 就是方程
我们为了以后的解题方便，又给出了一个定理，如下： 定理：设有线性非齐次方程方程
的解，那末
与方程
就是原方程的解。
二阶常系数齐次线性方程的解法
前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的方法。但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。 二阶线性齐次方程的解法
二阶线性齐次方程的一般形式为：
ax
的任一特解，Y是与该方程对
的通解。
.如果分别是
，其中a1，a2为实常数。
ax
我们知道指数函数e求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数ρ，使e满足方程上面的方程。我们可令： 因为e≠0，所以：
ax
，代入上面的方程得：
这样，对于上面二次方程的每个根ρ，e就是方程
ax
的一个解。方程
就被称为方程
性质，我们分三种不同的情况来讨论： 1.特征方程有两个不等的实根的情形 设此两实根为
。于是
的特征方程。根据这个代数方程的根的不同
是齐次方程的两个特的通解为：
解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程
2.特征方程有重根的情形
其中c1，c2为实常数。
此时特征方程的重根应为：，于是只能得到的一个特解：
.于是方程
，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：
的通解为:
3.特征方程有共轭复根的情形 设共轭复根为
，那末
是方程
的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式
的解，利用欧拉公式：
，为此可以得到方程
的通解：
由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为： 1.对照方程
写出其特征方程：
；
2.求出特征方程的两个根：ρ1，ρ2
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