那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B； (2)：f(x,y)g(x,y)→AB；
(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0
像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性
如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。 如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。 关于二元函数间断的问题
二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。
二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。
.
.
例题：求下面函数的间断线
解答：x=0与y=0都是函数的间断线。
偏导数
在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的\变化率\。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。 在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。 偏导数的定义
设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数
z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)
△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0). 如果△xz与△x之比当△x→0时的极限
那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。
存在，
记作：f'x(x0,y0)或 关于对x的偏导数的问题
函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数
同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限
那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.
存在，
记作f'y(x0,y0)或偏导数的求法
当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时， 我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导， 那末称函数f(x,y)在域D可导。
此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，
称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。 例题：求z=xsiny的偏导数
2
解答：把y看作常量对x求导数，得
把x看作常量对y求导数，得
注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。
例题：求的偏导数。
解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。
把y和z看成常量对x求导，得.
把x和z看成常量对y求导，得.
把x和y看成常量对z求导，得高阶偏导数
.
如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导， 那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。 二元函数的二阶偏导数有四个：f\，f\，f\，f\
注意：f\与f\的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f\与f\都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关。 例题：求函数
的二阶偏导数.
解答：，，全微分
我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。 这里我们以二元函数为例。 全微分的定义
函数z=f(x,y)的两个偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和
f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y 若该表达式与函数的全增量△z之差，
当ρ→0时，是ρ( 的高阶无穷小，
那末该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。
记作：dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y 注意：其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ，(α是当ρ→0时的无穷小)
)
注意：在找函数相应的全增量时，为了使△z与偏导数发生关系，我们把由(x0,y0)变到(x0+△x,y0+△y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+△y)，再变到点(x0+△x,y0+△y).其过程如下图所示：
例题：求
的全微分
解答：由于 所以关于全微分的问题
，
如果偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)连续，那末z=f(x,y)一定可微。
多元复合函数的求导法
在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例： 多元复合函数的求导公式 链导公式： 设
均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,
那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：
例题：求函数 解答：令
由于
的一阶偏导数
而
由链导公式可得：
其中
上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。 全导数
由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数元函数.
复合起来的函数
是x的一
这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.
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