中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B铅笔涂在对应的答题卡上 1．（3分） 的相反数是（ ） A．
B．
C．
D．
2．（3分）电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（ ） A．10.9×10
4
B．1.09×10
4
C．10.9×10
5
D．1.09×10
5
3．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，点F在BC的延长线上，若∠ACF＝140°，∠ADE＝105°，则∠A的大小为（ ）
A．30°
B．35°
C．50°
D．75°
4．（3分）下列计算正确的是（ ） A．（xy）＝xy C．3x?5x＝15x
2
3
5
3
3
B．x÷x＝x D．5xy+2xy＝10xy
23
23
49
55
5．（3分）2019年1月3日上午10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面，开启了月球探测的新篇章，中国人迈开了走向星辰大海的第一步．如图是某正方体的展开图，在原正方体上“星”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．走
B．向
C．大
D．海
6．（3分）在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（ ）
A．5、3、4.6 7．（3分）方程A．2
B．5、5、5.6
C．5、3、5.6 D．5、5、6.6
的解为（ ）
C．4
D．无解
B．2或4
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE CD，过点
B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB＝12，则BF的长为（ ）
A．7
B．8
C．10
D．16
9．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝x+n与直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+n+1＜mx+7的解集是（ ） A．x＜3
B．x＜4
C．x＞4
D．x＞6
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小： 3．（填“＞”或“＜”号）
12．（3分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a+b|+|b|＝ ．
13．（3分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成
﹣bc，请你将 化为代数式，再化简为 ．
14．（3分）如图，长方形纸片ABCD的长AB＝3，宽BC＝2，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧；以点C为圆心，以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是 ．
，定义
ad
15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
216．（8分）先化简，再求值：（1 ） ，其中x满足x﹣2x﹣5＝0．
17．（9分）某校为了解学生对排球、羽毛球、足球、篮球（以下分别用A、B、C、D表示）这四种球类运动的喜好情况．对全体学生进行了抽样调查（每位学生只能选一项最喜欢的运动），并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次参加抽样调查的学生有 人． （2）补全两幅统计图．
（3）若从本次参加抽样调查的学生中任取1人，则此人喜欢哪类球的概率最大？求其概率．
18．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点
E、F，且CF AC
（1）求证：△ABF是直角三角形．
（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．
19．（9分）如图，一架无人机在距离地面高度为13.3米的点A处，测得地面点M的俯角为53°，这架无人机沿仰角为35°的方向飞行了55米到达点B，恰好在地面点N的正上方，
M、N在同一水平线上求出M、N两点之间的距离．（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．）
20．（9分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标
轴上，点B的坐标为（4，2），直线y x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y 的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
21．（10分）某小区2号楼对外销售，已知2号楼某单元共33层，一楼为商铺，只租不售，二楼以上价格如下：第16层售价为6000元/米，从第16层起每上升一层，每平方米的售价提高30元，反之每下降一层，每平方米的售价降低10元，已知该单元每套的面积均为100米
（1）请在下表中，补充完整售价y（元/米）与楼层x（x取正整数）之间的函数关系式．
楼层x（层） 售价y（元/米） 22
2
2
1楼 不售 2≤x≤15 16楼 6000 17≤x≤33 （2）某客户想购买该单元第26层的一套楼房，若他一次性付清购房款，可以参加如图优惠活动．请你帮助他分析哪种优惠方案更合算．
22．（10分）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠
BAD＝α，∠CDE＝β，
（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝ °；β＝ °．
（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．
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