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构造函数解决不等式问题 例：[2011·辽宁卷]函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2， 则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
【解析】构造函数G(x)＝f(x)－2x－4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意x∈R，f’(x)>2， 所以G′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数， 又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0， 即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B. 训练：
1.已知函数y?f(x)的图象关于y轴对称,且当x?(??,0),f(x)?xf'(x)?0成 立a?20.2f(20.2)，b?log?3f(log?3)，c?log39f(log39),则a,b,c的大小关系是
C.c?b?a D.a?c?b
( ) A. b?a?c B.c?a?b
解：因为函数y?f(x)关于y轴对称,所以函数y?xf(x)为奇函数.因为
[xf(x)]'?f(x)?xf'(x),所以当x?(??,0)时,[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)?0,函数y?xf(x)单调递减,当x?(0,??)时,函数y?xf(x)单调递减.因为
1?20.2?2,0?1og?3?1,1og39?2,所以0?1og?3?20.2?1og39,所以b?a?c,选A.
2. 已知f(x)为R上的可导函数，且?x?R，均有f(x)?f?(x)，则有 A．eB．eC．e2013f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0) f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0) f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0) f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0)
20132013D．e2013f?(x)ex?(ex)?f(x)f?(x)?f(x)f(x)?解：构造函数g(x)?x,则g?(x)?， x2x(e)ee因为?x?R,均有f(x)?f?(x)，并且ex?0，所以g?(x)?0，故函数g(x)?调递减，所以g(?2013)?g(0)，g(2013)?g(0)，即
f(x)在R上单exf(?2013)f(2013) ?f(0)，?f(0)，e?2013e2013也就是e2013f(?2013)?f(0)，f(2013)?e2013f(0)，故选D． 6. 已知函数f(x)(x?R)满足f(1)?1，且f(x)的导函数f'(x)?1x1，则f(x)??的222解集为（ ）A. x?1?x?1 B. xx??1 C. xx??1或x?1 D. xx?1
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解：构造新函数F(x)?f(x)?(?), 则F(1)?f(1)?(?)?1?1?0，
x212121211，对任意x?R，有F'(x)?f'(x)??0，即函数F(x)在R上单调递22x1减，则F(x)?0的解集为(1,??)，即f(x)??的解集为(1,??)，选D.
22F'(x)?f'(x)?3.[2013·绥化一模] 已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且当x∈(－∞，0)
0.30.3
时，f(x)＋xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝(3)·f(3)，
b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log2)·f(log2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b
解：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)关于(0，0)中心对称为奇函数，所以函数g(x)=xf(x)为偶函数．又当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，故g(x)=xf(x)在(－∞，0)上为减函数．由偶函数的性质得函数xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，
1?0.3?又?log3?>3>logπ3>0，所以c>a>b. 9??
例：巳知函数f（x）=
191912
ax－bx－1nx，其中a，b∈R。（I）当a=3，b=-1时，求函数f（x）3的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f(e））处的切线方程为2x－3y－e=0（e=2.71828…为自然对数的底数），求a，b的值；
（Ⅲ）当a>0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+1nx]对任意的x1>x2≥4，总有
h(x1)?h(x2)??1成立，试用a表示出b的取值范围；
x1?x2【知识点】导数的综合应用
解：因为f?x??x?x?lnx,x??0,???，所以f'?x??2x?1?21?2x?1??x?1??， xx令f'?x??0,得x?1?1??1????上单调递增， 或?1，所以f(x)在?0，?上单调递减，在?，2?2??2??1?3f????ln2； ?2?4则f(x)在x?1处取得最小值为2（Ⅱ）因为f'?x??21212ax?b?,所以f'?e??ae?b??①， 3x3e3又因为切点(e，f(e))在直线2x－3y－e=0上，所以切点为?e,?， 所以f?e???e??3?12e11ae?be?1?②，联立①②解得a?,b??. 33eeh?x1??x1???h?x2??x2???????0成立，
（Ⅲ）由题意，对于任意x1?x2?4，总有
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令p?x??h?x??x?213ax?bx2?x,x??4,???，则函数p(x)在x∈[4，＋∞)上单调递增，3所以p'?x??ax?2bx?1?0在x??4,???上恒成立.构造函数
1ax2?11， F?x??ax??a?0?,x??0,???，则F'?x??a?2?2xxx所以F(x)在?0,???aa??a?上单调递减,在,???????a?上单调递增. ?????a?a1a??4即0?a?时，F(x)在?4,(1)当?a??上单调递减，在??a,????上单调递增. a16????所以F(x)的最小值为F??a??a???2a,所以2b?2a,得b?a； ??(2)当
a111?4即a?时F(x)在(4，＋∞)上单调递增，2b?F?4??4a?,即b?2a?，a16481?11?时b???,a?，当a?时，b????,2a??
?8?1616?综上，当0?a??【思路点拨】本题主要考查的是利用导数求函数的最值及利用导数研究曲线的切线，利用导数求最值一般先判断函数的单调性，再结合单调性确定最值位置，对于由不等式恒成立求参数参数范围问题通常转化为函数的最值问题解答. 变式练习：
2（1,f(1))处的1.函数f(x)?ax?(a?2)x?lnx.（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点
切线方程；（Ⅱ）当a?0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，求a的取值范围； （Ⅲ）若对任意x1,x2?(0,??),x1?x2，且f(x1)?2x1?f(x2)?2x2恒成立，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?x2?3x?lnx,f(x)?2x?3?1.………2分 x因为f'(1)?0,f(1)??2.所以切线方程是y??2. …………4分 （Ⅱ）函数f(x)?2ax?(a?2)x?lnx的定义域是. ………………5分 （0，??）12ax2?(a?2)x?1(x?0) 当a?0时，f'(x)?2ax?(a?2)??xx3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
构造函数利用导数解决函数问题
