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7.3 平面向 课程名称 数学 课题名称 量的内积 授课日期 目标群体 14级五高汽车工程系2,3,4班 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 课时 2 任课教师 教学环境 谢春霞 理论课堂 学习目标 职业通用能力目标： 培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法． 制造业通用能力目标： 通过把实际问题向数学问题的转化,渗透数学建模的思想,提高学生用数学的意识,及学习数学的爱好. 平面向量数量积的概念及计算公式. 学习重点 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 学习难点 教法：讲授为主，学生自主预习为辅。 学法：直观学习法、练习、讨论 课件，教材 教法.学法 教学媒体 教师：准备课件、学生练习的资料 学生：教材、练习册 教学. 学习准备
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教学环节 情景引入 新知 探索 创设情境 兴趣导入 教学内容 F O 30?s 图7—21 如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成30?角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？ 【新知识】 我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则 F?xi + y j ?Fsin30?i?Fcos30?j， 即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即 W＝｜F｜cos30?·｜s｜＝100×3·10＝5003 （J） 2y F(x,y) j O i x 图7－22 教师 学生 时间 活动 活动 提问 思考 分析 分析 讲解 理解 强调 掌握 10 讲解 强调 思考 分析 板书 理解 10 掌握 分析 讲解 名师精编 优秀教案
例题 由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F 与向量s的内积,它是一个数 A 量，又叫做数量积． a 如图7－23，设有两个非 b B O 零向量a, b，作OA＝a, OB图7－23 ＝b,由射线OA与OB所形成 的角叫做向量a与向量b的夹角，记作． 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量 b的内积，记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cos (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s. 由内积的定义可知a·0＝0, 0·a＝0． 板书 由内积的定义可以得到下面几个重要结果： 1.当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝180时，a·b＝?|a||b|. 分析 a?b2.cos＝. |a||b|讲解 3.当b＝a时，有＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝a?a. 4.当?a,b??90时，a?b，因此，a·b＝a?bcos90?0,因此对 非零向量a，b，有a·b＝0?a?b. 可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a·b＝b·a． （2） (?a)·b＝?(a·b)＝a·(?b)． （3） (a＋b)·c＝a·c＋b·c． 板书 例1 已知|a|＝3,|b|＝2, ＝60?,求a·b． 解 a·b＝|a||b| cos ＝3×2×cos60?＝3． 分析 例2 已知|a|＝|b|＝2,a·b＝?2,求． 讲解 2?2a?b解 cos＝＝＝?. |a||b|22?2这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于 思考 分析 理解 掌握 思考 分析 理解 掌握 10 10 名师精编 优秀教案
由于 0≤≤180?， 所以 ＝135． 巡视 *运用知识 强化练习 练习 设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单 新知识 位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以 板书 a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j) ＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j 分析 ＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2 讲解 ＝ x1 x2＋ y1 y2． 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即 a·b＝ x1 x2＋ y1 y2 (7.11) 利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则 a?aa?x2?y2，即a?x2?y2 由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时， x1 x2? y1 y2a?b cos＝＝. (7.13) 2222|a||b|x1?y1x2?y2 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 板书 由于a?b?a·b＝0，由公式(7.11)可知 a·b＝0? x1 x2＋ y1 y2＝0． 分析 因此a?b? x1 x2＋ y1 y2＝0． (7.14) 讲解 例3 求下列向量的内积： 例题 （1） a＝ (2,?3), b＝(1,3)； （2） a＝ (2, ?1), b＝(1,2)； （3） a＝ (4,2), b＝(?2, ?3)． 解 (1) a·b＝2×1＋(?3)×3＝?7； (2) a·b＝2×1＋(?1)×2＝0； (3) a·b＝2×(?2)＋2×(?3)＝?14． 例4 已知a＝(?1,2),b＝(?3,1).求a·b, |a|,|b|, ． 板书 解 a·b＝(?1)( ?3)＋2×1＝5； 练习 思考 分析 理解 掌握 思考 分析 理解 掌握 10 10 10 名师精编 优秀教案
练习 小结 作业 |a|＝a?a?(?1)2?22?5； |b|＝b?b?(?3)2?12?10； cos＝52a?b?＝， 2|a||b|105所以 ＝45． 例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(?2, 3), b＝(6, 4)； (2) a＝(0, ?1), b＝(1, ?2)． 解 (1) 因为a·b＝(?2)×6＋3×4＝0，所以a?b． (2) 因为a·b＝0×1＋(?1)×（?2)＝2，所以a与b不垂直． *运用知识 强化练习 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cos (7.10) a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上投影的乘积． 继续探索 活动探究 (1)读书部分：阅读教材 (2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做） 分析 讲解 巡视 归纳 小结 板书 说明 思考 分析 理解 掌握 练习 归纳 小结 记录 10 5 5 信息反馈： 教师备课专用 教务处印制
