初中数学新定义题专题
类型一 新运算型
1. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：
指数 运算 新运 算 log22 ＝1 log24 ＝2 log28 ＝3 … log33 ＝1 log39 ＝2 log327 ＝3 … 21＝2 22＝4 23＝8 … 31＝3 32＝9 33＝27 … 1
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216＝4，②log525＝5，③log22＝－1.其中正确的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
11－
B 【解析】①∵24＝16，∴log216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log525＝2≠5，故②不正确；③∵21＝，∴log2＝
22－1，故③正确．
→
→
→
→
2. 阅读材料：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a∥b，则x1·y2＝x2·y1.根据该材料填空：已知a＝(2，3)，b＝(4，m)，且a∥b，则m＝________.
→
→
→→→→
6 【解析】∵a∥b，∴2m＝3×4，解得m＝6.
3. 对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x－1)2，x2}＝1，则x＝______．
－3，2或－1 【解析】∵－2＞－3，∴min{－2，－3}＝－3；当(x－1)2＝1时，解得x＝0或x＝2，当x＝0
时，min{(x－1)2，x2}＝min{1，0}＝0，不符合题意舍去，当x＝2时，min{(x－1)2，x2}＝min{1，4}＝1；当x2＝1时，x＝ －1或x＝1，当x＝1时，min{(x－1)2，x2}＝min{0，1}＝0，不符合题意舍去，当x＝－1时，min{(x－1)2，x2}＝min{4，1}＝1，综上所述，x＝2或x＝－1.
4. 阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i； (1＋i)×(2－i)＝1×2－i＋2×i－i2＝2＋(－1＋2)i＋1＝3＋i； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：i3＝________，i4＝________；
(2)计算：(1＋i)×(3－4i)； (3)计算：i＋i2＋i3＋…＋i2017.
解：(1)－i；1；
【解法提示】∵i2＝－1， ∴i3＝i2·i＝－i，i4＝i2·i2＝1. (2)原式＝3－4i＋3i－4i2 ＝3－i＋4 ＝7－i；
(3)根据题意可得i＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i2016＝1，i2017＝i， ∵i＋i2＋i3＋i4＝0，2017÷4＝504……1， ∴i＋i2＋i3＋…＋i2017＝i.
类型二 新概念型
1
5. 已知点A在函数y1＝－x(x＞0)的图象上，点B在直线y2＝kx＋1＋k(k为常数，且k≥0)上，若A，B两点关于原点对称，则称点A、B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )
A. 有1对或2对 B. 只有1对 C. 只有2对 D. 有2对或3对
1111
A 【解析】设A坐标为(x，－)，则B坐标为(－x, )，把B(－x, )代入y2＝kx＋1＋k，得＝－kx＋1＋k，整理得：
xxxxkx2－(k＋1)x＋1＝0.当k＝0时，x＝1，只有一组解；当k≠0时，b2－4ac＝(k＋1)2－4k＝(k－1)2≥0，该方程有两个实数根．综
上所述，x有一个或两个值，即“友好点”有1对或2对．
6. 新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，11m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程＋m＝1的解为________．
x－1
x＝3 【解析】根据题意可得：y＝x＋m－2，∵“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，∴m－2＝0，解得m1111
＝2，则关于x的方程＋＝1变为＋＝1，解得x＝3，检验：把x＝3代入最简公分母2(x－1)＝4≠0，故x＝3是
x－1mx－12原分式方程的解．
7. 在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．
(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
(2)M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为(m，n)，求直线MN的表达式(用含m、n的代数式表示)；
(3)在抛物线y＝x2＋bx＋c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y＝211
－x的图象上，直线AB经过点P(2，2)，求此抛物线的表达式．
解：(1)不一定，理由如下：
设这一对“互换点”的坐标为P(m，n)、Q(n，m)． ①当mn＝0时，它们不在反比例函数的图象上；
k
②当mn≠0时，点P(m，n)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则mn＝k，
x∵nm＝k，
k
∴点Q在反比例函数y＝(k≠0)的图象上；
x
综上所述，任意一对“互换点”不一定都在一个反比例函数的图象上； (2)点M(m，n)的互换点N的坐标为(n，m)； 设直线MN的解析式为y＝k′x＋a，
?mk′＋a＝n?k′＝－1??
将点M，N代入得?，解得?，
??nk′＋a＝ma＝m＋n??
∴直线MN的解析式为y＝－x＋m＋n；
22
(3)∵点A在反比例函数y＝－的图象上，则设点A的坐标为(t，－)，
xt∵点A和点B是互换点， 2
∴点B的坐标为(－，t)，
t
2
由(2)知直线AB的解析式为y＝－x＋t－，
t11
∵点P(，)在直线AB上，
22121∴－＋t－＝，
2t2
解得t1＝－1，t2＝2，
则点A的坐标为(－1，2)或(2，－1)，
则对应的互换点B的坐标为(2，－1)或(－1，2)，
∵点A，B在抛物线y＝x2＋bx＋c上，将点(－1，2)，(2，－1)代入得，
?1－b＋c＝2?b＝－2???，解得?， ???4＋2b＋c＝－1?c＝－1
∴抛物线解析式为y＝x2－2x－1.
拓展类型 新方法型
8. 阅读下面的材料：
如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2. (1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数： (2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数． 2
例题：证明函数f(x)＝x(x＞0)是减函数． 证明：假设x1＜x2，x1＞0，x2＞0，
222x2－2x12（x2－x1）
f(x1)－f(x2)＝x－x＝xx＝， xx
1
2
12
12
∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，
∴x2－x1＞0，x1x2＞0， ∴
2（x2－x1）
＞0，即f(x1)－f(x2)＞0， x1x2
∴f(x1)＞f(x2)，
2
∴函数f(x)＝x(x＞0)是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题：
1111
(1)函数f(x)＝x2(x＞0), f(1)＝12＝1, f(2)＝22＝4.
1
计算， f(3)＝________，f(4)＝________，猜想f(x)＝x2(x＞0)是________函数(填“增”或“减”)；
(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想．
11
解：(1)，，减；
916
1111
【解法提示】∵f(x)＝2(x＞0)，f(1)＝2＝1，f(2)＝2＝，
x24111111
∴f(x)＝2(x＞0)， f(3)＝2＝，f(4)＝2＝，
x3941611
∵＞， 916
1
∴猜想f(x)＝2(x＞0)是减函数；
x(2)证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，
22
11x2－x1(x2－x1)(x2＋x1)
f(x1)－f(x2)＝2－2＝22＝， 2x1x2x1x2x21x2
∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，
2
∴x2－x1＞0，x2＋x1＞0，x21·x2＞0， ∴
(x2－x1)(x2＋x1)
22x1x2
＞0，
即f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，
1
∴f(x)＝2(x＞0)是减函数．
x
9. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．
(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；
(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根； (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)，Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？
第9题图
解：(1)如解图①，
第9题解图①
1
先作出AB的中点O1，以O1为圆心，AB为半径画圆．x轴上另外一个交点即为D点；
2(2) 证明：如解图②，过点B作x轴的垂线交x轴于点E，
第9题解图②
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCE＝90°， ∵∠OAC＋∠ACO＝90°， ∴∠OAC＝∠BCE，
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