Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(8), 1273-1285 Published Online August 2020 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/aam https://doi.org/10.12677/aam.2020.98149
Bifurcations of Solitary Waves for a Class of Higher Order Nonlinear Equations
Lingling Zou, Rui Liu
School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong
ththth
Received: Jul. 26, 2020; accepted: Aug. 13, 2020; published: Aug. 20, 2020
Abstract
In this article, we consider the solitary wave bifurcation of a class of higher order nonlinear equa-tions with parameter k, whose traveling wave system has a singular line. In this article, the qualit-ative analysis theory and the bifurcation method of dynamical system are used to study the case of equation with degree three and four, the bifurcation wave velocity, bifurcation curve and the ex-istence and bifurcation of solitary wave are obtained.
Keywords
Higher Order Equation, Qualitative Theory, Bifurcation Method, Solitary Wave, Bifurcation Wave Velocity
一类高次非线性方程的孤立波分支
邹玲玲，刘 锐
华南理工大学数学学院，广东 广州
收稿日期：2020年7月26日；录用日期：2020年8月13日；发布日期：2020年8月20日
摘 要
本论文考虑一类含参数????的高次非线性方程的孤立波分支，它们的行波系统都有一条奇直线。文章主要利用定性分析理论和动力系统分支方法，对方程次数为3和4的情形做出了研究，得出了各自情形下的分支波速、分支曲线以及孤立波的存在性和分支情况。
文章引用: 邹玲玲, 刘锐. 一类高次非线性方程的孤立波分支[J]. 应用数学进展, 2020, 9(8): 1273-1285. DOI: 10.12677/aam.2020.98149
邹玲玲，刘锐
关键词
高次方程，定性理论，分支方法，孤立波，分支波速
Copyright ? 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Open Access 1. 引言
国内外许多学者研究过以下方程：
ut+2kux?uxxt+(b+1)unux?buxuxx?uuxxx=0， (1-1)
当k=0，b>1，n为任意正整数时，Yang [1]等人考虑了方程(1-1)的尖波和反尖波的存在性和分支。当k=0，b=1，n=2时，Li和Liu [2]研究发现方程(1-1)具有的全局性质的周期波和孤立波，并计算出波解。文[3]研究得到了方程(1-1)的五类爆破解：双曲爆破解、分数爆破解、三角爆破解、第一椭圆爆破解和第二椭圆爆破解。另外，还发现两个有界孤立解从一个椭圆爆破解分支的现象。
当b=0，n=2时，Yang和Liu [4]研究了式(1-1)的正孤立波和反孤立波的分支和精确解，并发现了 1几个新的性质：(i) 当k<时，方程中存在周期波，爆破波和双孤立波三种类型的反孤立波分支；(ii) 当
21k≥时，方程中存在两种类型的孤立波分支：周期波和爆破波，但不存在双孤立波分支；(iii) 有无穷多
2个周期轨在一点或两点相交并通过奇点直线，而在某些同宿轨中不存在奇异点。
当b=2，n=1时，方程(1-1)就是Camassa和Holm [5]在1993年发现的CH方程。当k=0时，Camassa和Holm [5]研究发现CH方程是可积的，并且具有尖波解。Cooper和Shepard [6]推导出CH方程的一个近似孤立波解。Boyd [7]导出了一个系列波，它们在波峰处收敛到一个极限，并在CH方程中发现了余弦波。Constantin和Strauss [8]给出了交互孤立波存在性的数学描述，并证明了k=0时CH方程的波峰是稳定的。
当b=3，n=1时，方程(1-1)就成了Degasperisand Procesi [9]在2002年提出的DP方程。Lundmark和Szmigielski [10] [11]提出了计算DP方程n波峰解的逆散射方法，并给出了3波峰解的具体表达式。Chen和Tang [12]证明了DP方程的扭结波的存在性。Guha [13]得到了DP方程的Euler-Poincare形式。 近年来，定性分析理论[14] [15]和动力系统分支方法相继被成功用于非线性方程的研究，前人在b=0，
n≤2时关于方程(1-1)做出了很多研究，在本文中，我们用同样的方法，研究方程(1-1)在b=0，n=3和n=4时孤立波的存在性和分支情况。
2. 次数为3的分支情况
本节主要讨论次数为3的情形，即方程
ut+2kux?uxxt+u3ux?uuxxx=0， (2-1)
对应的行波系统。利用定性分析理论和动力系统分支方法研究行波系统的孤立波分支情况，给出其隐式解。
对式(2-1)变换得到以下行波系统：
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应用数学进展
邹玲玲，刘锐
?d??dξ=y??12 (2-2)
?+fy()?dy2=?ξ??cd?其中，
1f(?)=g+(2k?c)?+?4， (2-3)
4以及系统对应的首次积分：
H1(?,y)=h， (2-4)
其中，
2H1(?,y)=(??c)??y?G1(?)??， (2-5)
?1G1(?)=1?3432?cac3ac3alncc3a??????+?+?+???()()()()3210?， (2-6) 6?2???a0=4g+4c(2k?c)+c4??=a142k?c+c3 (2-7) ?2?a2=6c??a3=4c()注意到h是一个积分常数。进一步，我们可得到以下两条分支曲线：
=g1(c)g2(c=)334(c?2k)， (2-8) 41
4c2?8kc?c4， (2-9) 4
()显然，分支曲线g1(c)和g2(c)有以下的分支情况： (i) 当k<0时，g1(c)和g2(c)只有一个分支波速c1； (ii) 当k=0时，g1(c)和g2(c)只有一个分支波速c1(c1=1)； (iii) 当0
1??时，g1(c)和g2(c)只有一个分支波速c1?c1=?； 333??1133时，g1(c)和g2(c)没有分支波速。
根据以上分析，我们可以得到系统(2-2)的分支相图，见图1~5。
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