罗默《高级宏观经济学》（第3版）第1章 索洛增长模型
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1.1 增长率的基本性质。利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明： （a）两个变量乘积的增长率等于其增长率的和，即若Z?t??X?t?Y?t?，则
（b）两变量的比率的增长率等于其增长率的差，即若Z?t??X?t?Y?t?，则
（c）如果Z?t??X?t?，则Z?t?/Z?t???X?t?/X?t?
?证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：
再简化为下面的结果：
则得到（a）的结果。
（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：
再简化为下面的结果:
则得到（b）的结果。
（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：
?又由于ln?X?t????lnX?t?，其中?是常数，有下面的结果：
??
则得到（c）的结果。
1.2 假设某变量X的增长率为常数且在0~t1时刻等于a?0，在t1时刻下降为0，在t1~t2时刻逐渐由0上升到a，在t2时刻之后不变且等于a。
（a）画出作为时间函数的X的增长率的图形。 （b）画出作为时间函数的lnX的图形。 答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。
从0时刻到t1时刻X的增长率为常数且等于a（a?0），为图形中的第一段。X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。从t2时刻之后，X的增长率再次变为a。
图1-1 时间函数X的增长率
（b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X的增长率，即：
因此，从0时刻到t1时刻，，lnX关于时间的图形如图1-2所示：lnX的斜率为a（a?0）在t1时刻，X?t?的增长率出现不连续的变化，因此lnX的斜率出现扭曲，在t1时刻至t2时刻，
。 lnX的斜率由0逐渐变为a；从t2时刻之后，lnX的斜率再次变为a（a?0）
图1-2 lnX关于时间的图形
1.3 描述下面的每一种变化（如果存在的话）怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。
（a）折旧率下降。 （b）技术进步率上升。
（c）生产函数是柯布—道格拉斯型，f?k??k?，并且资本份额?上升。
（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前更高。
答：（a）折旧率下降的影响
由于持平投资线的斜率为?n?g???，当折旧率?下降后，持平投资线的斜率下降，持平投资线向右转，而实际投资线则不受影响。从图1-3可以看出，平衡增长路径的资本存量
?水平从k?上升到kNEW。
图1-3 折旧率下降的影响
（b）技术进步率上升的影响
由于持平投资线的斜率为?n?g???，当技术进步率g上升后，会使持平投资线的斜率变大，持平投资线向左转，而实际投资线则不受影响。从图1-4可以看出，平衡增长路径的
?资本存量水平从k?下降到kNEW。
图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响
（c）生产函数是柯布—道格拉斯型的f?k??k?，并且资本份额?上升的影响 由于持平投资线的斜率为?n?g???，因此?上升对持平投资线没有影响。由于实际投?sk?资线为sf?k?，而f?k??k，因此?sk?lnk。当资本份额?上升时，实际投资线的变
??化需要分情况讨论：对于0???1，如果lnk?0，或者k?1，则?sk?/???0，即实际投资
?线sk?随?增加而上升，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上；反之，如果lnk?0，或者0?k?1，?sk?/???0，则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下；对于k?1，则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。
除此之外，?上升对于k?的影响还受到s和?n?g???的大小的影响。如果
s??n?g???，?的上升会使k?上升，如图1-5所示。
图1-5 资本份额?上升的影响
（d）工人们发挥更大的努力，使得对于单位有效劳动的资本的既定值，单位有效劳动的产出比以前有更高的影响：
如果修改密集形式的生产函数形式为：sBf?k?，B＞0，则实际投资线为sBf?k?。 工人们更加努力的劳动，则单位有效劳动的产出比以前提高，即表现为B上升，B的上升会使实际投资线sBf?k?上升；持平投资线?n?g???k并不受影响，此时，k也从k?上
?升到kNEW，如图1-6所示。
图1-6 单位有效产出比以前更高的影响
1.4 考虑一个具有技术进步但无人口增长的经济，其正处在平衡增长路径上。现在假设工人数发生了一次跳跃。
（a）在跳跃时刻每单位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变？为什么？
（b）在新工人出现时，每单位有效劳动的产出发生初始变化（如果存在的话）之后，单位有效劳动的产出是否存在任何进一步的变化？如果发生变化，其将上升还是下降？为什么？
（c）一旦经济再次达到平衡增长路径，此时的每单位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之前的每单位有效劳动的产出？为什么？
答：（a）假定在t0时刻，工人数量发生了一次离散的上升，这使得每单位有效劳动的投资数量从k?下降到kNEW。从k?K/AL这一式子中可以看出，由于L上升，而K和A则没有变化，因此，k会下降。因为f??k?＞0，所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。在图1-7中，y从y?下降到yNEW。
图1-7 单位有效劳动数量降低的影响
（b）在kNEW处，每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平投资，即：
sf?kNEW?＞?g???kNEW。在kNEW处，经济中储蓄和投资超过了折旧和技术进步所需要的投资
罗默《高级宏观经济学》(第版)课后习题详解(第章 索洛增长模型)
