教程
第一讲 函数、连续与极限
一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限
函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
3.连续
二、题型与解法 A.极限的求法
（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.limarctanx?xarctanx?x1（等价小量与洛必达） ?lim??x??0ln(1?2x3)x??062x32.已知limsin6x?xf(x)6?f(x) ?0，求lim32x??0x??0xxsin6x?xf(x)6cos6x?f(x)?xy'?limx??0解：x??0 x33x2lim?36sin6x?2y'?xy''?216cos6x?3y''?xy'''?limx??0x??06x6
?216?3y''(0)??0?y''(0)?726?limlim6?f(x)y'y''72?lim?lim??36 （洛必达）
x??0x??02xx??02x222x2xx?1) （重要极限） 3.lim(x??1x?1ax?bxx) 4.已知a、b为正常数，求lim(x??02ax?bxx3),lnt?[ln(ax?bx)?ln2] 解：令t?(2x3333xx(alna?blnb)?ln(ab)x??0x??0ax?bx2（变量替换） ?t?(ab)3/2limlnt?lim1ln(1?x)5.lim(cosx) x??021解：令t?(cosx)ln(1?x),lnt?21ln(cosx) 2ln(1?x)limlnt?limx??0?tanx1???t?e?1/2（变量替换）
x??02x26.设f'(x)连续，f(0)?0,f'(0)?0，求lim?xx20f(t)dtxx??02??1
0f(t)dt（洛必达与微积分性质）
?ln(cosx)x?2,x?07.已知f(x)??在x=0连续，求a
?a,x?0解：令a?limln(cosx)/x??1/2 （连续性的概念）
x??02
三、补充习题（作业） 1.limex?1?x1?x?cosxx??0??3 （洛必达）
2.limctgx(x??011?) （洛必达或Taylor） sinxx23.lim
x?e?tdt0xx??01?e?x2?1 （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求 1.导数与微分
导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程
理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）
2.微分中值定理 3.应用
二、题型与解法
A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.y?y(x)由??x?arctant决定，求dy
2t?2y?ty?e?5dx232.y?y(x)由ln(x?y)?xy?sinx决定，求
dy|x?0?1 dx解：两边微分得x=0时y'?ycosx?y，将x=0代入等式得y=1 3.y?y(x)由2B.曲线切法线问题
xy?x?y决定，则dy|x?0?(ln2?1)dx
??/2?（e4.求对数螺线??e在（?，?）,?/2)处切线的直角坐标方程。
???x?ecos??/2,(x,y)|?(0,e),y'|???/2??1 解：????/2???y?esin?y?e?/2??x
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
C.导数应用问题
D.幂级数展开问题解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0
limf(1?sinx)?3f(1?sinx)x??0sinxsin?x?tlimf(1?t)?f(1)f(1?t)?f(1)t??0[t?3t] ?4f'(1)?8?f'(1)?2?y?2(x?6)6.已知y?f(x)对一切x满足xf''(x)?2x[f'(x)]2?1?e?x，
若f'(x0)?0(x0?0)，求(x0,y0)点的性质。
解：令x?xf''(xex0?1??0,x0?00代入，0)?ex0x???0,x，故为极小值点。 0?0?0y?x37.(x?1)2，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域x?(??,1)?(1,??)
y'?0?驻点x?0及x?3y''?0?拐点x?0；x?1：铅垂；y?x?2：斜
8.求函数y?(x?1)e?/2?arctanx的单调性与极值、渐进线。
解：
y'?x2?x?/2?arctanx1?x2e?驻点x?0与x??1，
渐：y?e?(x?2)与y?x?2
9.
dxdx?0sin(x?t)2dt?sinx2 sin(x?t)2?(x?t)2?12(2n?1)3!(x?t)6?????(?1)n(x?t)(2n?1)!?????sin(x?t)2dt??1317n?1(x?t)4n?13(x?t)?3!7(x?t)?????(?1)(4n?1)(2n?1)!xx?t)2?13171)x4n?1?n0sin(3x?3!7x?????(?(4n?1)(2n?1)!????dx2(2n?1)0sin(x?t)2dt?x2?16nx3!x?????(?1)(2n?1)!?????sinx2dx?
d0dxE.不等式的证明F.中值定理问题
或：x?t?u?dx?xsinu2(?du)?dx?0sinu2du?sinx2 10.求f(x)?x2ln(1?x)在x?0处的n阶导数f(n)(0)
解：x2ln(1?x)?x2(x?x22?x3n?23?????(?1)n?1xn?2?o(xn?2) =
x3?x4?x5n?????(?1)n?1xn?2?o(xn23) ?f(n)(0)?(?1)n?1n!n?2 11.
设
x?(0,1)，
求证（1?x)ln2(1?x)?x2，1ln2?1?111ln(1?x)?x?2
证：1）令g(x)?(1?x)ln2(1?x)?x2,g(0)?0
g'(x),g''(x),g'''(x)??2ln(1?x)(1?x)2?0,g'(0)?g''(0)?0 ?x?(0,1)时g''(x)单调下降，g''(x)?0,g'(x)单调下降
g'(x)?0,g(x)单调下降，g(x)?0；得证。 2）令h(x)?1ln(1?x)?1x,x?(0,1),h'(x)?0,单调下降，得证。
12.设函数f(x)在[?1，1]具有三阶连续导数，且f(?1)?0,f(1)?1， f'(0)?0，求证：在（-1，1）上存在一点?，使f'''(?)?3
证：f(x)?f(0)?f'(0)x?12!f''(0)x2?13!f'''(?)x3 其中??(0,x),x?[?1,1]
0?f(?1)?f(0)?1f''(0)?1f'''将x=1，x=-1代入有26(?1)
1?f(1)?f(0)?12f''(0)?16f'''(?2)两式相减：f'''(?1)?f'''(?2)?6
???[?11，?2]，?f'''(?)?2[f'''(?1)?f'''(?2)]?3
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