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第一章 集合与充要条件
一、集合的概念 (一)概念
1. 集合的概念:将某些 的对象看成一个 就构成一个集合,简称为 。
一般用 表示集合。
组成集合的对象叫做这个集合的 。
一般用 表示集合中的元素。 2. 集合与元素之间关系:
如果a是集合A的元素,就说a A,记作 ; 如果a不是集合A的元素,就说a A,记作 。 3. 集合的分类:
含有 的集合叫做有限集; 含有 的集合叫做无限集;
的集合叫做空集,记作 。 (二) 常用的数集:数集就是由 组成的集合。
1. 自然数集:所有 组成的集合叫做自然数集,记作 ; 2. 正整数集:所有 组成的集合叫做正整数集,记作 ; 3. 整数集:所有 组成的集合叫做整数集,记作 ; 4. 有理数集:所有 组成的集合叫做有理数集,记作 ; 5. 实数集:所有 组成的集合叫做实数集,记作 。 (三) 应知应会:
1. 自然数:由 和 构成的实数。 2. 整数:由 和 构成的实数。 偶数: 被2整除的数叫做偶数; 奇数: 被2整除的数叫做奇数。
3. 分数:把 平均分成若干份,表示这样的 或 的数叫做分数。分数中间的 叫做分数线。分数线 的数叫做分母,表示把一个物体 ;分数线 的数叫做分子,表示 。
4. 有理数: 和 统称有理数。 5. 无理数: 的小数叫做无理数。 6. 实数: 和 统称实数。
二、集合的表示法 表 示 法 列 举 法 描 述 法 定 义 将集合中的元素 利用元素的 来表示表示集合的方法。 集合的方法。 1. 在 中画一条 ; 2. 左侧写上集合的 , 并标出元素的 ;(如果上下文中能够明显看出集合中的元素1. 将集合中的元素 ; 为实数,可以不标出元素的取值范具体方法 2. 用 分隔; 围。) 3. 用 括为一个整体。 3. 右侧写出元素所具有的 。 【注】在使用描述法表示某些集合时,可以用 来叙述集合的 ,再用 括起来。 优 点 明确、直接看到集合中的元素。 清晰地反映出元素的特征性质。 不 足 能表示的集合有限。 抽象,不能直接看出元素。 适用类型 一般用来表示有限集。 一般用来表示无限集。 【几个常用集合的表示方法】 (一)数集: 集 合 列举法 描述法 偶数集合 正偶数集合 负偶数集合 奇数集合 正奇数集合 负奇数集合 1
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(二)点集:在平面直角坐标系中, 由x轴上所有点组成的集合 由y轴上所有点组成的集合 由第一象限所有点组成的集合 由第二象限所有点组成的集合 由第三象限所有点组成的集合 由第四象限所有点组成的集合 三、集合之间的关系 集合间的关系 子 集 真子集 相 等 一般地,如果集合B 如果集合B是集合A的 ,并且A中 一般地,如果两个集定 义 的元素 集合A 有 元合的元素 ,的元素,那么把集合B素 属于B,那么把那么就说这两个集合叫做集合A的子集。 B叫做A的真子集。 相等。 符号表示 B A(或A B) B A(或A B) B A(或A B) 读 作 B A B A (或A B) (或A B) ———————— 图 示 1. 任何一个集合都是它自身的 。 明 确 2. 空集是任何集合的 ;是任何 集合的 。 3. 一个集合中有n个元素,则它的子集的数目为 ; 真子集的数目为 。 四、集合的运算 (一) 交集
1. 定义:一般地,对于两个给定的集合A、B,由 的 所有元素组成的集合叫做A与B的交集。 2. 记作:A B;读作:A B。
3. 集合表示:A____B?{___|________________}。 4. 图示:用阴影表示出集合A与B的交集。
A
B
A A
B
B
5. 性质:由交集的定义可知,对任意的两个集合A、B,有
(1) A?B?__________; (2) A?A?____,A???_____; (3)A?B____A,A?B____B。 (二)并集
1. 定义:一般地,对于两个给定的集合A、B,由 的 所有元素组成的集合叫做A与B的并集。 2. 记作:A B;读作:A B。
3. 集合表示:A____B?{___|________________}。 4. 图示:用阴影表示出集合A与B的并集。
A
B
A A
B
B
5. 性质:由并集的定义可知,对任意的两个集合A、B,有
(1)A?B?__________; (2)A?A?____,A???_____; (3)A____A?B,B____A?B。
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(二) 补集 1. 全集:
(1)定义:在研究某些集合时,这些集合常常是一个给定集合的 , 这个给定的集合叫做全集。 (2)表示:一般用 来表示全集。
(3) 在研究数集时,经常把 作为全集。
2. 补集的定义:如果集合A是全集U的 ,那么,由U中 A的所有元素组成的集合叫做A 的补集。 3.记作: ;读作: 。 4. 集合表示:____?{___|________________} 5. 图示:用阴影表示出集合A在全集U中的补集。 U
A
6. 性质:由补集的定义可知,对任意的集合A,都有
(1) A?CUA?_______; (2) A?CUA?_______; (3) CU(CUA)?_______;
(4) CU(A?B)?________?________; (5) CU(A?B)?________?________。 五、充要条件 (一)相关概念:
1. 命题:判断一件事情的语句叫做命题。
2. 命题的表示方法:使用小写英语字母p、q、r、s等表示命题。 3. 真命题:成立(正确)的命题是真命题。 4. 假命题:不成立(错误)的命题是假命题。
5. “如果......,那么......”命题:一般形式为“如果p,那么q”。 6. 题设(条件):“如果”后接的p。 7. 结论:“那么”后接的q。 (二)充要条件: 1. 充分条件:
“如果p,那么q”是 命题,而“如果q,那么p”是 命题,则称p是q的充分条件。
记作:p q;读作:由条件p 结论q。
2. 必要条件:
“如果p,那么q”是 命题,而“如果q,那么p”是 命题,则称p是q的必要条件。
记作:p q;读作:由结论q 条件p。 3. 充要条件:
如果 ,并且 ,那么称p是q的 且 条件,简称充要条件。
记作:p q;读作:p与q 。 4. 既不充分又不必要条件:
如果 ,并且 ,那么称p是q的既不充分又不必要条件。
第二章 不等式
一、比较实数大小的方法 (一)实数的大小与正负
1. 正数 零,负数 零,正数 负数。
2. 两个正数,绝对值大的数 ;两个负数,绝对值大的数 。 3. 正数的和为 数,负数的和为 数。
4. 同号相乘(除)得 数;毅号相乘(除)得 数。
5. 互为相反数的两个数之和为 ;互为倒数的两个数之积为 。 (二)数轴
1. 定义:数轴是一条规定了 、 、 的直线。 2. 意义:数轴上的点与实数是 的关系。
3. 在数轴上,原点所代表的实数是 ,原点右边的点所代表的实数是 数,原点左边的点所代表的实数是 数。
4. 在数轴上,右边的点代表的数总比左边的点代表的数 ,
即,越往右的点代表的数越 ,越往左的点代表的数越 。 5. 在数轴上,表示下列数的范围: (1)x ≥ 3; (2)x < 2; (3)?1 ≤ x < 3。
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(三)比较两个实数大小的方法: 比较法。
一般地,对于两个任意的实数a和b,有
a?b?0?_______;a?b?0?_______;a?b?0?_______.
二、不等式的基本性质
1. 对称性:a?b? 。 2. 传递性:a?b,b?c?___________。 3. 加法性质:a?b?___________________; a?b,c?d?_________________。 4. 乘法性质:a?b,c?0?__________,__________; a?b,c?0?__________,__________; a?b?0,c?d?0?_____________; a?b?0?____________(n?N*); a?b?0?____________(n?N*)。 三、区间
(一)区间表示的对象: 。
由 上两点间的一切 所组成的集合叫做区间。 这两个点叫做区间 。 (二)区间的分类及定义: 1. 有限区间
(1)开区间: 端点的区间。 (2)闭区间: 端点的区间。 (3)右半开区间: 端点的区间。 (4)左半开区间: 端点的区间。 2. 无限区间:至少有一个端点 的区间。
(1)不存在右端点时,可以用符号 表示,读作 ; (2)不存在左端点时,可以用符号 表示,读作 。 (三)区间、集合与图像的关系
设a、b为任意实数,且 a < b ,则各种区间表示的集合如下表:
区 间 集 合 图 像 (a,b) [ a, b ] ( a, b ] [ a, b ) (??,b) (??,b] (a,??) [a,??) (??,??) 四、一元一次不等式
1. 定义:含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式。 2. 一般形式:ax?b?0(≥0)或ax?b?0(≤0),其中a?0。 3. 一元一次不等式在各种情况下的解集:
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解集(a?0) 方程或 不等式 a?0 a?0 yyy?ax?b 的图像 OxOx ax?b?0 描述法: 描述法: ax?b?0 (ax?b≥0) 区间表示: 区间表示: 描述法: 描述法: ax?b?0 (ax?b≤0) 区间表示: 区间表示: 五、一元二次不等式
1. 定义:含有 个未知数且未知数的最高次数是 的不等式。
2. 一般形式: 或 ,其中 。 3. 一元二次不等式在各种情况下的解集:
解集(a?0,??b2?4ac,x1?x2) 方程或不等式 ??0 ??0 ??0 yyyy?ax2?bx?c 的图像 OxOxOx ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c≥0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c≤0 4.解一元二次不等式的基本步骤:
(1)将不等式化为一元二次不等式的 形式,并 ;
(2)设ax2?bx?c?0,并解方程;
(3)根据上表,写出一元二次不等式的解集。 六、含绝对值的不等式 (一)绝对值的概念
1. 绝对值的含义:在 上,任意一个数所对应的点到 的 叫做该数的绝对值。
2. 正数的绝对值是 ,负数的绝对值是它的 数,0的绝对值是 。 3. 任意实数的绝对值是 数,任意两个相反数的绝对值 。
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