―→―→由PA·PB＝0，得(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，又y1＝kx1＋n，y2＝kx2＋n， 所以(k2＋1)x1x2＋k(n－1)(x1＋x2)＋(n－1)2＝0，③ 3由②③得n＝1(舍)或n＝－5，满足①. 3?3?此时l的方程为y＝kx－5，故直线l过定点?0，－5?. ??考点二 定值问题 [例2] 已知椭圆C：x2y2＋＝1(a>b>0)，过A(2，0)，B(0，1)两点． a2b2(1)求椭圆C的方程及离心率； (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． [解] (1)由题意得，a＝2，b＝1， x2所以椭圆C的方程为4＋y2＝1. c3又c＝ a2－b2＝3，所以离心率e＝a＝2. (2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y20＝4. 又A(2，0)，B(0，1)， 所以直线PA的方程为y＝令x＝0，得yM＝－y0(x－2)． x0－22y0， x0－22y0从而|BM|＝1－yM＝1＋. x0－2y0－1直线PB的方程为y＝x＋1. x0令y＝0，得xN＝－x0， y0－1x0. y0－1从而|AN|＝2－xN＝2＋1所以四边形ABNM的面积S＝2|AN|·|BM| 21 / 25 x0??2y0?1?＝2?2＋y0－1??1＋x0－2? ????x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4＝ 2（x0y0－x0－2y0＋2）2x0y0－2x0－4y0＋4＝＝2. x0y0－x0－2y0＋2从而四边形ABNM的面积为定值． [题后悟通] 解答圆锥曲线的定值问题的策略 (1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等． [多练强化] 如图所示，已知点M(a，3)是抛物线y2＝4x上一定点，直线AM，BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A，B两个不同的点． (1)求点M到其准线的距离； (2)求证：直线AB的斜率为定值． 9解：(1)∵M(a，3)是抛物线y2＝4x上一定点，∴32＝4a，a＝4. ∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1， 913∴点M到其准线的距离为4－(－1)＝4. (2)证明：由题知直线MA，MB的斜率存在且不为0， ?9?设直线MA的方程为y－3＝k?x－4?，A(xA，yA)，B(xB，yB)． ??9???y－3＝k??x－4?，??得y2－4y＋12－9＝0. 由?kk??y2＝4x44∵yA＋3＝k，∴yA＝k－3. 22 / 25 ∵直线AM，BM的斜率互为相反数， ?x－9?∴直线MB的方程为y－3＝－k?4?. ??同理可得yB＝∴kAB＝4－k－3， yB－yAyB－yA42＝＝4＝－43. xB－xAy22ByA－3＋k－3－44－k2∴直线AB的斜率为定值－3. 考点三 探索性问题 x2y2[例3] (2019·××市学业质量调研)如图，已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1(－2，0)及F2(2，0)，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列． (1)求椭圆C的方程； (2)记△GF1D的面积为S1，△OED(O为坐标原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？请说明理由． [解] (1)∵|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列， ∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝2|F1F2|＝8，∴a＝4. 又c＝2，∴b2＝12， x2y2∴椭圆C的方程为16＋12＝1. (2)假设存在直线AB，使得S1＝S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．设AB的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)， x2y2将其代入16＋12＝1，整理得(4k2＋3)x2＋16k2x＋16k2－48＝0， －16k2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝， 3＋4k2 23 / 25 x1＋x2－8k22＝3＋4k2， ∴点G的横坐标为?－8k26k?，??. ∴G3＋4k23＋4k2??∵DG⊥AB， 6k3＋4k2－2k2∴×k＝－1，解得xD＝， －8k23＋4k2－xD3＋4k2?－2k2?，0?， 即D??3＋4k2?∵Rt△GDF1和Rt△ODE相似， ∴若S1＝S2，则|GD|＝|OD|， ∴ ?－8k2－2k2?2?6k?2?－2k2?－??＋?3＋4k2?＝??，整理得8k2＋9＝0. ??3＋4k2??3＋4k23＋4k2??∵方程8k2＋9＝0无解，∴不存在直线AB，使得S1＝S2. [题后悟通] 探索性问题的解题策略 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． [多练强化] (20xx·××市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切． (1)求动圆圆心C的轨迹E的方程； (2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离，与到定直线x＝－1的距离相等， 由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其中p＝2. 24 / 25 ∴动圆圆心C的轨迹E的方程为y2＝4x. 法二：设动圆圆心C(x，y)，依题意得 （x－1）2＋y2＝|x＋1|， 化简得y2＝4x，即动圆圆心C的轨迹E的方程． (2)假设存在点N(x0，0)满足题设条件． 由∠QNM＋∠PNM＝π可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即 kPN＋kQN＝0.① 易知直线PQ的斜率必存在且不为0，设直线PQ：x＝my－2， ?y2＝4x，由?得y2－4my＋8＝0. ?x＝my－2由Δ＝(－4m)2－4×8>0，得m>2或m<－2. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8. 由①得kPN＋kQN＝y2＋＝ x1－x0x2－x0y1y1（x2－x0）＋y2（x1－x0）＝0， （x1－x0）（x2－x0）∴y1(x2－x0)＋y2(x1－x0)＝0， 即y1x2＋y2x1－x0(y1＋y2)＝0. 11消去x1，x2，得4y1y2＋4y2y21－x0(y1＋y2)＝0， 1即4y1y2(y1＋y2)－x0(y1＋y2)＝0. 1∵y1＋y2≠0，∴x0＝4y1y2＝2， ∴存在点N(2，0)，使得∠QNM＋∠PNM＝π. 25 / 25
2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题五 解析几何第3讲 第3讲 圆锥曲线的
