CIIAm R
第十章
计数原理
考试内容 加法原理与乘法原理 排列与组合 二项式定理 等级要求 B B B
§10.1分类计数原理与分步计数原理
【考情考向分析】以理解和应用两个基木原理为主，常以实际问题为载体，加强分类讨论思 想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考 中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以解答题的形 式出现，
召知识
难度为屮档.
■知识梳理
主学习
1. 分类计数原理
如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m\\种不同的方法，在第2类方式中有加2 种不同的方法，……在第〃类方式中有加〃种不同的方法，那么完成这件事共有N=mk+m. 土二如种不同的方法.
2. 分步计数原理
如果完成一件事，需要分成杜个步骤，做第1步有皿种不同的方法，做第2步有加2种不同 的方法，……做第〃步有加”种不同的方法，那么完成这件事共有种不 同的方法.
3. 分类计数原理和分步计数原理的区别
分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完 这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算 完成这件事.
基础自测
题组一思考辨析
1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“ 或“X”）
（1） 在分类计数原理屮，两类不同方案屮的方法可以相同.（X ） （2） 在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（V ）
（3） 在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事， 只
有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.（V ）
（4） 如果完成一件事情有〃个不同的步骤，在每一步屮都有若干种不同的方法加佢=1,2,3,…,
卅），那么完成这件事共有加|加2〃?3…伽种方法.（J ）
（5） 在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.（V ）
题组二教材改编
2. [P29习题T9]将3个不同的小球放入编号分别为123,4,5,6的盒子内，6号盒子屮至少有 1个球的放法种数是 ________ ?
答案91
解析 本题应分为6号盒子中有1个球，2个球，3个球三类来解答，可列式为CkAi+Ab + C；
Af+C=91（种）.
3. [P24习题T13]d知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为
答案12
解析 将4个门编号为1,2,3,4,从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法， 从2,3,4号门进入，同样各有3种走法， 共有3X4=12（种）不同的走法. 题组三易错自纠
4. 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个
数为 _______ . 答案18
解析分两类情况讨论：
第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3X2X2= 12（个） 奇数；
第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3X2X1=6（个） 奇数.
根据分类计数原理知，共有12 + 6=18（个）奇数.
5. _______________________________ 现有4种不同的颜色要对如图所示的四个部分进行
着色，要求有公共边界的两块不能用同 一种颜色，则不同的着色方法共有 种.
答案48
解析需要先给C块着色，有4种方法；再给/块着色，有3种方法；再给3块着色，有 2种方法；最后给D块着色，有2种方法.由分步计数原理知，共有4X3X2X2=48(种) 着色方法.
6. ____________________________________________ 如果把个位数是1,且恰有3个数
字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个 数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 _____________________________________________ 个. 答案12
解析由题意知本题是一个分类计数问题.
当组成的数字有三个1,三个2,三个3,三个4时共有4种情况.当有三个1时：
2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,有 9 种，当有三个 2,3,4 时：2221,3331,4441, 有3种，根据分类计数原理可知，共有12种结果.
题型分类深度剖析
-------------------------------------------- 真逸典題凍度剖靳■点难点多维探宾 --------------------------------------------------
题型一分类计数原理的应用 ---------- 自主演练
1. 满足Q,底{ — 1,0,1,2},且关于x的方程ax+2x+b=0有实数解的有序数对(Q, b)的个
数为 _______ . 答案13
解析当。=0时，关于x的方程为2x+b=0t此时有序数对(0, -1), (0,0), (0,1), (0,2) 均满足要求；当
2aHO时，/=4一4\必W1,此时满足要求的有序数对为(一 1, -1), (-1,0), (-1,1), (-1,2), (1, -1), (1,0), (1,1), (2, -1), (2,0).综上，满足要求的有序 数对共有13个.
2. 如果一个三位正整数如“Q02如”满足02,且他＞如，则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275等)，那么所有凸数的个数为 ________ .
答案240
解析 若血=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0, “凸数”为120与121,共2 个. 若他=3,则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2X3 = 6(个). 若02=4,满足条件的“凸数”有3X4=12（个），…，若他=9,满足条件的“凸数”有8X9
=72（个）.
所以所有凸数有 2 + 6+12+20+30+42+56+72=240（个）.
3. _____________________________________________________________________ 定
2024版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十章+计数原理101+含答案.doc
