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直线、平面平行的判定与性质
【考纲说明】
1、理解直线与平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；
2、会利用直线与平面、平面与平面的位置关系以及平行的判定定理和性质定理解决简单的应用与证明问题； 3、本部分内容在高考中占5-10分左右.
【趣味链接】
1、 在修建公路时，工人师傅会拉一条笔直的线，以此作为高度的标准，这条线与地平面是平行的，运用的就是线
面平行的原理，这样建造的楼房才会平整，不会高低不平.
2、 磁悬浮列车利用“同性相斥，异性相吸”的原理，让磁铁具有抗拒地心引力的能力，使车体完全脱离轨道，悬浮
在距离轨道约1厘米处，腾空行驶，创造了近乎“零高度”空间飞行的奇迹。其实，磁悬浮列车所在的平面与轨道平面是两个互相平行的面，这样列车才能安全、高速的运动，如果不平行，非常可能发生脱轨现象。
【知识梳理】
1. 直线与平面平行的判定与性质 1、直线和平面的位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行
（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L和平面α平行，记作L ||α。
（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行.
符号表示：a??、b??,a//b?a//?.
直线在平面内 有无数个公共点 a?α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α=A 直线与平面平行 没有公共点 a||α
1、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行.
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简记为：线面平行，则线线平行.
符号表示：若a//?,a??,?I??b,则a//b. 2. 平面与平面平行的判定与性质
1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为：平面α、平面β，若a∩β＝?，则a∥β 2、判定定理： 文字描述 如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行 判定 一个平面内有两条相交如果两个平面同时垂直于一条直线与另一个平面平行，直线，那么这两个平面垂直。 那么这两个平面平行． 图形 条件 ?I?=? α,b?β α∩b＝P α∥α b∥α l⊥α l⊥β 结论 3、性质定理： ?//? ?//? 性质 ?//? 文字描述 如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行 如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面 图形 条件 结论 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a a∥b α∥β l⊥α l⊥β α∥β a?β a∥α
3. 解题方法
（1） 证明直线与平面平行的常用方法：
2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明； 3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件； 4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行； 2、证明平面与平面平行的常用方法：
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（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； （2）利用面面平行的判定定理； （3）利用两个平面垂直于同一直线；
（4）证明两个平面同时平行于第三个平面；
【经典例题】
【例1】（2012浙江）设l是直线，?，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若l∥?,l∥β，则?∥β B.若l∥?，l⊥β，则?⊥β C.若?⊥β,l⊥?, 则l⊥β D.若?⊥β, l⊥?, 则l⊥β 【解析】B 【例2】（2012四川）下列命题正确的是（ ）
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【解析】C
【例3】（2011江西）已知?1，?2，?3是三个相互平行的平面．平面?1，?2之间的距离为d1，平面?2，?3之间的距离为d2．直线l与?1，?2，?3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2=P2P3”是“d1?d2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】C 【例4】（2011辽宁）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD?底面ABCD，则下列结论中不正确的是 ．．． A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 【解析】D
【例5】（2012全国）设平面?与平面?相交于直线m，直线a在平面?内，直线b在平面?内，且b?m 则“???”是“a?b”的（ ）
A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 即不充分也不必要条件 【解析】A 【例6】（2012河南）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1?l2，l2?l3?l1//l3
B．l1?l2，l2//l3?l1?l3
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
C．l2//l3//l3?l1，l2，l3共面
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【解析】B
【例7】（2012江苏）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?ACCC1上的点（点D 不同E分别是棱BC，11，D， 于点C），且AD?DE，F为B1C1的中点．
A1 C1 求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1；
F （2）直线A1F//平面ADE． B1
E
【解析】（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC， ∵AD?平面ABC， A C ∴AD⊥CC1 D 又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 B ∴AD⊥平面BCC1B1， ∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点 ∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD
∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE， ∴直线A1F∥平面ADE．
【例8】（2012浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，
PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点． (Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． 【解析】（Ⅰ）如图连接BD． ∵M，N分别为PB，PD的中点， ∴在?PBD中，MN∥BD． 又MN?平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； (Ⅱ) 10． 5o
AA1DFCBC图1【例9】（2012北京）如图1，在Rt?ABC中，?C?90，D,E分别为
AC,AB的中点，点F为线段CD上的一点，将?ADE沿DE折起到?A1DE的位置，使A1F?CD，如图2。
EDF图2EB。
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（Ⅰ）求证：DE//平面A1CB； （Ⅱ）求证：A1F?BE；
?平面DEQ？说明理由。 （Ⅲ）线段A1B上是否存在点Q，使AC1【解析】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC，又DE?平面A1CB， ∴DE∥平面A1CB，
（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC， ∴DE⊥AC，
∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，
∴DE⊥平面A1DC，而A1F?平面A1DC， ∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD， ∴A1F⊥平面BCDE， ∴A1F⊥BE．
（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC． ∵DE∥BC， ∴DE∥PQ．
∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC， ∴DE⊥A1C，
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， ∴A1C⊥DP，
∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ， 故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ
【例10】(2013四川)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．
（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1； （2）设（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．
【解析】 （1） 过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内， 由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.
15. 5
【例11】（2012河南）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1， 连接AP交棱CC1于D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值.
（2）二面角A－A1M－N的余弦值为
【解析】二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为
2． 3///o【例12】（2012辽宁）如图，直三棱柱ABC?ABC，?BAC?90，
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