第三章 流体动力学基础
本章是流体动力学的基础。主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节 流体流动的基本概念
1.流线
（1）流线的定义
流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。图3-1为流线谱中显示的流线形状。 （2）流线的作法：
在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。 流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2
（3）流线的性质（图3-3）
a.同一时刻的不同流线，不能相交。 图3-3
因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。 因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。 （4）流线的方程（图3-4）
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程： 图3-4
1
设ds为流线上A处的一微元弧长: u为流体质点在A点的流速:
因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。
所以即
展开后得到：——流线方程 （3-1）
（或用它们余弦相等推得2.迹线
(1)迹线的定义
)
迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。 图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程
（3-2）
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。 图3-5 注意：流线和迹线微分方程的异同点。
——流线方程
3.色线（colouring line)
又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。
例如：为显示流动在同一点投放示踪染色体的线，以及香烟线都是色线。图3-6 考考你：在恒定流中，流线、迹线与色线重合。 流线、 迹线、 色线的比较： 概念名
流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。
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流线方程为：
式中时间t为参变量。
迹 线 迹线是指某一质点在某一时刻内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况。
迹线方程为：式中时间t为自变量。
脉 线 脉线（色线）是指源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。
例1 如图3-7，已知流速场为，其中C为常数，求流线方程。
解：由式得
积分得： 则： 此外，由
得：
图3-7
因此，流线为Oxy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（C＞0时）或平面点汇流动（C＜0时） 例2 已知平面流动
试求：（1）t=0时，过点M（-1，-1）的流线。（2）求在t=0时刻位于x=-1，y=-1点处流体质点的迹线。
解：（1）由式 （2）由式
得 得
得：
由t=0时，x=-1，y=-1得C1=0, C2=0，则有：
3
将：t=0，x=-1，y=-1 代入得瞬时流线 xy=1 最后可得迹线为： 即流线是双曲线。 例3 已知流动速度场为
试求：（1）在t= t0 瞬间，过A（ x0，y0，z0 ）点的流线方程；
（2）在t= t0 瞬间，位于A（ x0，y0，z0 ）点的迹线方程。
解：（1）流线方程的一般表达式为 将本题已知条件代入，则有： 积分得：（1+t）lnx = lny + lnC '
当t= t0时，x=x0，y=y0 ，则有
故过A（ x0，y0，z0 ）点的流线方程为 （2）求迹线方程
迹线一般表达式为
代入本题已知条件有：
由(1)式得：
当t= t0时，x=x0代入上式得
由(2)式得：
当t= t0时，y= y0代入上式得
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故迹线方程为
t是自变量，消t后得到的轨迹方程为迹线方程：
二、流体流动的分类
1.层流与紊流 （1）层流的定义
层流（laminar flow）（图3-8） 图3-8
亦称片流，是指流体质点不互相混杂，流体质点作有条不紊的有序的直线运动。 特点： （1）有序性。
（2）水头损失与流速的一次方成正比。
（3）在流速较小且雷诺数Re较小时发生。 图3-9
层流遵循牛顿内摩擦定律，粘性抑制或约束质点作横向运动。
紊流
紊流（turbulent flow)（图3-10）
亦称湍流，是指随流速增大，流层逐渐不稳定，质点相互混掺，流体质点沿很不规则的路径运动。
特点：
（1）无序性、随机性、有旋性、混合性。 （2）水头损失与流速的1.75~2次方成正比。
（3）在流速较大且雷诺数较大时发生。 图3-10
紊流是工程实践中最常见的一种流动，如图3-9，紊流微团不仅有横向脉动，而且有相对于流体总运动的反向运动，紊流中质点运动要素具有随机性，流速的大小方向随机变化，没有两个流体质点可以沿着同样的、甚至相似的路径运动。紊流就是压力表指针不断摆动的原因。
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流体力学讲义 第三章 流体动力学基础.
