习题
5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：受力分析如图
22mg?T2?2ma （1） T1?mg?ma （2）
(T2?T1)r?J? （3） (T?T1)r?J? （4）
a?r? (5)
联立 a?
5-2. 如图所示,一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上,设开始时杆以角速度?0绕过中心（2）经过多长时间杆才会停止转动。 O且垂直与桌面的轴转动，试求:（1）作用于杆的摩擦力矩；
m（1） 设杆的线??，在杆上取一小质元dm??dx
l111g， T?mg 48df??dmg???gdx
dM???gxdx 考虑对称 1M?2???gxdx??mgl
4（2） 根据转动定律M?J??J
l20d? dt?t0?Mdt??Jd?
w00 ?11?mglt??ml2?0 412 所以 t??0l 3?g
5-3. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。
2mg?T?ma?mdv dtTR?J?
dv?R? dt1dvM)?mg 2dtvtmmgt ?dv?? gdt v?001Mm?Mm?225-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为
整理 (m?的转动惯量J?MR/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬重物上升的加速度？
解：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重 物上升的速度，系统对轴的角动量
2均匀分布在其边缘上，绳子A端有一
如图。已知滑轮对O轴M/4的重物，
时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端
L?
MMvR?M(u?v)R?(R2)?44
3?MvR?MuR2根据角动量定理 M?dL dt3d3MgR?(MvR?MuR) 4dt2du33dv3?0 MgR?MR?MRa dt42dt2g所以 a?
2轴线的转动惯量。 密度??
5-5. 计算质量为m半径为R的均质球体绕其
证明：设球的半径为R，总重量为m，体
将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘， 则盘的体积为
3m， 34?R?(R2?Z2)2dZ
21R8?222J????(R?Z)dZ??R5?mR2
2?R155
5-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧时弹簧无形变，细棒的质量m?5.0kg，求在??0o的位置上细能转动到水平位置？
解：机械能守恒
mg的劲度系数k?40N/m，当??0o棒至少应具有多大的角速度?，才
111?J?2?kx2 222?1 根据几何关系 (x?0.5)?1.5?1 ??3.28rad?s
2225-7. 如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；力。
解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程
机械能守恒
在铅直面内转动。若盘自静止下落，（2）在虚线位置轴对圆盘的作用
mgR?11J?2 J?mR2?mR2 224Rg 3??4g vc?R??3RvA?2R??16Rg 3 Fy?mg?mR?2?7mg 方向向上 32m的小球，杆可绕水平光滑固定轴
止在竖直位置。今有一质量为m的小速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的
5-8. 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和
2l．轻杆原来静31球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v0的
2O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和角速度。
解：根据角动量守衡 有
1322ll21mv0l?()2m??()2?2m??ml?v0 33332 ??3v0 2l5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为?)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边的角速度；(2)经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆
时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水上，求：(1)子弹击中圆盘后，盘所获得盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
1MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 2
解
（
1
）
角
动
量
守
恒
mvR?1MR2??mR2? 22mv
(2m?M)RRM22πrdr??MgR （2）M??dM???dmgr???gr0?R23 ??2?M?2m?21R? ?MgR??t?(MR2?mR2)??0，??t?4?Mg32由（1）已得：??2mv，代入即得
M?2mR???t?3mv
2?Mg
5-10. 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，
平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面转动。另有一水平运动的质量为m2设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞
前后的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
(已知棒绕O点的转动惯量J? 碰撞时角动量守恒
1m1l2) 31m2v1l?m1l2??m2v2l
3??3m2(v1?v2)
m1l细棒运动起来所受到的摩擦力矩
M???0lm11gxdx??m1gl l2?M?Jd? dt12mld?1t3 ?0dt??1?m1gl22l?2m2(v1?v2)? 3?g?m1gt?
5-11. 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。(2)物体的速度（1）机械能守恒。 设下落最大距离为h
忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧达最大值时的位置及最大速率。
212kh?mgh 22mg h??0.49m
k121212（2）kx?mv?J??mgx
222
??2?2mgx?kx?
v??J?m???r2??dv若速度达最大值，?0
dx
12x?
mg?0.245(m) k1212????22?2?5?9.8?0.245?200?0.245?2mgx?kx?v??????1.31m/s ?J?0.01m?2?5?????r?(7?10?2)2??
5-12. 设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度?成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？
解：（1）通电时根据转动定律有 M?Mr?J M?Pd? dt? Mr?k?
t?J? 代入两边积分 ?dt??d?
00P?k?2
???tP(1?eJ) k2k（2）电扇稳定转动时的转速 ?m?P kd?（3） ?k??J?
d? ????00k?d???d?
?mJJkP k5-13. 如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为?，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以?0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度大？
解：细绳刚绷紧时系统机械能守恒
多大？物体A运动后，细绳的张力多
1112J?0?J?2?mv2 v?R? 2221v?R?0
3T??mg?ma
?TR?J?
T?
?mg3 a?R?
5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度?为多少？
解：此过程角动量守恒 0?mrv?J? ??mRv J5-15. 以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m（m较小），边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A边翻
转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，
5刚体力学基础习题思考题
