生物统计学教案
第九章 两因素及多因素方差分析
教学时间：5学时 教学方法：课堂板书讲授
教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型
的方差分析，了解多因素的方差分析方法。。
讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤 9.1 两因素方差分析中的一些基本概念 9.1.1 模型类型
交叉分组设计：A因素的a个水平和B因素的b个水平交叉配合，共构成ab个组合，每一组合重复n次，全部实验共有abn次。
固定模型：A、B两因素均为固定因素。 随机模型：A、B两因素均为随机因素。
混合模型：A、B两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。 9.1.2 主效应和交互作用
主效应：由于因素水平的改变所造成的因素效应的改变。
A1 A2 A1 A2 B1 18 24 B1 18 28 B2 38 44 B2 30 22 先看左边的表。A因素的主效应应为A2水平的平均效应减A1水平的平均效应，B的主效应类似。
A2B1?A2B2A1B1?A1B224?4418?36A?????62222AB?A2B2A1B1?A2B138?4418?24B?12????202222当A1B1＋A2B2＝A1B2＋A2B1时，A、B间不存在交互作用。这里A1B1＋A2B2＝62，A1B2＋A2B1＝62，因此A、B间不存在交互作用。
交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用。
现在看右边的表。
A（在B1水平上）＝A2B1－A1B1＝28－18＝10 A（在B2水平上）＝A2B2－A1B2＝22－30＝－8
显然A的效应依B的水平不同而不同，故A、B间存在交互作用。交互作用的大小为 AB＝（A1B1＋A2B2）－（A1B2＋A2B1） 9.1.3 两因素交叉分组实验设计的一般格式
假设A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复包含ab次实验，实验重复n次，总的实验次数为abn次。以xilk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重复的观测值。一般格式见下表。
因 素 B j=1,2,…,b
B1 B2 … Bb 总计 A1 x111 x121 x1b1 x112 x122 x1b2
x11n x12n x1bn x1. . 因
素 A2 x211 x221 x2b1 A x212 x222 x2b2
x21n x22n x2bn x2. . Aa xa11 xa21 xab1
xa12 xa22 xab2
xa1n xa2n xabn xa. . 总计 x.1. x.2. x.b. x. . .
上表中的各种符号说明如下：
xi?? A 因素第i水平的所有观察值的和，其平均数为xi..
x.j. B因素第j水平所有观察值的和， 其平均数为x.j. xij.A因素第i水平和B因素的第j水平和所有观察值的和，
其平均数为xij.
x... 所有观察值的总和， 其平均数为x...
xij???xijk,k?1abnnxij??xij?nx???abn,?i?1,2,???,a??j?1,2,???,bx???????xijk,x????i?1j?1k?1关于实验重复的正确理解：这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。 9.2 固定模型 9.2.1 线性统计模型
xijk????i??j?????ij??ijk?i?1,2,???,a??j?1,2,???,b?k?1,2,???,n?对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此
??i?1ai?0,??j?1bj?0交互作用的效应也是固定的
?????i?1aij?0,?????j?1bij?0εijk是相互独立且服从N(0 , σ2)的随机变量。
固定模型方差分析的零假设为：
H01:?1??2??????a?0H02:?1??2??????b?0?i?1,2,???,aH03:????ij?0??j?1,2,???,b9.2.2 平方和与自由度的分解
与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显着性。
????xi?1j?1k?1abnabnijk?x????2?????xi???x?????x?j??x????xij??xi???x?j??x????xijk?xij?i?1j?1k?1a?????????2?bn??xi???x?????an?x?j??x???2i?1j?1b?2?n??xij??xi???x?j??x???i?1j?1ab???????x2i?1j?1k?1abnijk?xij??2上述各项分别为A因素、B因素、AB交互作用和误差平方和，即： 自由度可做相应的分解： 由此得出各因素的均方：
9.2.3 均方期望与统计量F的确定
对上式E(MSA)、E(MSB)和E(MSe)中的第二项，分别记为：
ab1a21b21222SSSSSS????MS??SS?,???,????AiB?AB?????j??ab?ije,MS,MS?,MSbnanABABe???22??b?1?i?1j?1?1ab??11j?1a?1i?112???a?B1b?1?E?aMS?E??MS????b??j2ab?n?1?A???i,2a?1i?1b?1E?ab2n2?bnx?x??E?MSAB?2???SS??,222A?????ijMSA???bn?,1EMS??i???an??,????a?b?1?iBi??11j?1?2????baj?1?2E?MSAB???2?n???E?MSe???2SSB?an?x?j??x???j?1dfT?abn?1dfA?a?1dfB?b?12ab???a????n?1?dfAB?ABb?1?xdfSS?1nxabe???ij??i???x?j??x???i?1j?1b??2SSe?于是：
这时，零假设还可以写为：
????xi?1j?1k?1anijk?xij??2用F作为检验统计量，以对A因素的检验为例：
2H01:???0,2H02:???0,2H03:????0MSAF??MSe??2???的估计22?bn???的估计当F >Fα时拒绝H01。对B因素和AB交互作用的推断类似。
变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望
A因素 SSA a-1 MSA MSA/MSe σ2+bn ηα2 B因素 SSB b-1 MSB MSB/MSe σ2+an ηβ2 AB交互作用 SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe σ2+n ηαβ2 误差 SSe ab(n-1) MSe σ2 总和 SST abn-1
两因素固定模型的方差分析表如下： 9.2.4 平方和的简易计算法
为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的
SST????xi?1j?1k?1abn2ijkx?2???abnx?21a2SSA?xi?????,?bni?1abnx?2??其中称为校正项，用C表示。
abnx?21b2SSB?x?j?????anj?1abnSSe????xi?1j?1k?1abn2ijk1ab2???xij?ni?1j?1不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复间平方和得到的。为了得到误差平方和，必须设置重复。由总平方和减去A因素、B因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。如果不设置重复，无法得到误差平方和，其误差平方和是用残余项估计的。即使实验存在交互作用也无法独立获得，这时的交互作用与误差混杂。这一点在设计实验时一定要特别注意。交互平方和：
SSAB?SST?SSA?SSB?SSex?21ab2?????xij???SSA?SSBni?1j?1abn 原 料 种 类 1 2 3 温 30℃ 35℃ 度 40℃ 41 49 23 25 47 59 50 40 43 35 53 50 11 13 25 24 43 38 33 36 55 38 47 44 6 22 26 18 8 22 18 14 30 33 26 19 例 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。
在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有4次重复。将每一数据都减去30，列成表9-1。
2 原料(A) 温度(B) xij1 xij2 xij3 xij4 xij. xij. ?xijk2
4 30 11 19 -7 -5 18 324 556 1 35 -19 -17 -5 -6 -47 2209 711
40 -24 -8 -4 -12 -48 2304 800 30 17 29 20 10 76 5776 1630 2 35 13 8 3 6 30 900 278 40 -22 -8 -12 -16 -58 3364 948 30 13 5 23 20 61 3721 1123 3 35 25 8 17 14 64 4096 1174 40 0 3 -4 -11 -12 144 146 和 84 22838 7366 利用xij.列，列成表9－2
温 度 (B)
30 35 40 xi . . xi . .2 原 1 18 －47 －48 －77 5929 料 2 76 30 －58 48 2304 (A) 3 61 54 －12 113 12769 x.j. 155 47 －118 84 21022 x.j.2 24025 2209 13924 40158 从表9－1中可以计算出： 及由表9－2中可以计算出：x 列成方差分析表 变差来源 原料 A 温度 B AB
ak?1284C??????196.00abn?3??3??4?n 均方 F
x2SST????xijk?????7366?196?7170.001554.17 777.09 12.67i?1j?1k?1 2 abn**
平方和a b自由度 2SSe????xn3150.58
2ijki?1j?1k?1 808.75
bb1575.29 25.681a 2 12???xij??7366??22838??1656.50ni?1j 4 4?1 202.19 3.30
*
**
误 差 总 和 1656.50 7170.00 27 35 61.35
9.2.5 无重复实验时的两因素方差分析
如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以
不设重复（n = 1）。无重复实验的方差分析，只需将前一节公式中所有的n都改为1，即可完成计算。不同点只是计算更容易一些。这里不再详述。 9.3 随机模型 9.3.1 线性统计模型
xijk????i??j?????ij??ijk对于随机模型：
22?,?,?j:NID?0,???i:NID?0,???i?1,2,???,a??j?1,2,???,b?k?1,2,???,n?????ij2:NID0,???,?ijk:NID0,?2????因此，任何观察值的方差
零假设为： H:?2?0,01?9.3.2 均方期望与统计量F的确定
2H02:???0,2H03:????0
随机模型中各平方和的计算与固定模型一样，这里不再重复。但均方期望不同，因此检验统计量也不同。
22E?MSA???2?n????bn??22E?MSB???2?n????an??22??EMSAB???n???E?MSe???2从均方期望中可以看出，交互作用均方是用误差均方检验的，若MSAB不显着，表明它也是误差的估计，应与MSe合并，用合并后的均方对主效应做检验。合并的方法是
'MSe?SSAB?SSe若交互作用显着，则可以直接用它检验主效应。随机模型的
dfAB?dfe方差分析表如下：
随机模型的方差分析表如下： 变差来源 平方和 A因素
自由度
均方
F
均方期望
SSA a-1 MSA MSA/MSAB B因素 A×B 误 差 总 和
SSB SSAB SSe SST b-1 (a-1)(b-1) MSB MSAB MSe
MSB/MSAB MSAB/MSe
ab(n-1) abn-1 例 为了研究不同地块中，施用不同数量的农家肥对作物产量的影响，设计一个两因素实验，实验结果如下：
地 块 B
一号地 8.69 8.88 10.82 11.16
8.47 8.72 10.86 11.42
二号地 8.80 9.68 11.00 10.97
8.74 9.54 10.92 11.13
三号地 9.49 9.39 11.07 11.00
9.37 9.59 11.01 10.90
施 100Kg 肥 200Kg 量 300Kg A
400Kg
解：xijk－9.5 , 列成表9.1： 施肥量 地 块
一
100
二 三 一
200
二 三 一
300
二 三 一
400
二 三
-0.81 -0.70 -0.10 -0.62 0.18 -0.11 1.32 1.50 1.57 1.66 1.47 1.50
-1.03 -0.76 -0.13 -0.78 0.04 0.09 1.36 1.42 1.51 1.92 1.63 1.40
-1.84 -1.46 -0.04 -1.40 0.22 -0.02 2.68 2.92 3.08 3.58 3.10 2.90 13.62
3.3856 2.1316 0.0196 1.9600 0.0484 0.0004 7.1824 8.5204 9.4864 12.8164 9.6100 8.4100 63.5772
1.7170 1.0676 0.0170 0.9928 0.0340 0.0202 3.5920 4.2664 4.7450 6.4420 4.8178 4.2100 32.9218
利用xij列，列成表9.2
地 块
一
二 -1.46 0.22 2.92 3.10 4.78 22.8484
三 -0.14 -0.02 3.08 2.90 5.82 33.8724
施 肥 量
100 200 300 400
-1.84 -1.40 2.68 3.58 3.02 9.1204
-3.44 -1.20 8.68 9.58 13.62 65.8412
11.8336 1.4400 75.3424 91.7764 180.3924
由表9.1计算出
2x?213.62C?????7.7294abn4?3?22SST????xijk?C?32.9218?7.7294?25.1924i?1j?1k?1abnabn1ab263.5772SSe????x???xij??32.9218??1.1332ni?1j?12i?1j?1k?12ijk 由表9.2计算出
1a2180.3924SSA?xi???C??7.7294?22.3360?bni?13?21b265.8412SSB?x?j??C??7.7294?0.5008?abj?14?2AAAB?SST?SSA?SSB?SSe?1.2224方差分析表
变差来源 施肥量 A 地 块 B
平方和 22.3360 0.5008 1.2224 1.1332
自由度 3 2 6 12
均方 7.4453 0.2504 0.2037 0.0944
F 36.63** 1.23 2.16
AB 误 差
总 和 ** α = 0.01 9.4 混合模型
25.1924 23
9.4.1 线性统计模型
一个因素是固定的（如A），另一因素是随机的（如B），该模型称为混合模型。 其中αi是固定效应，βj是随机效应，(αβ)ij是随机效应。
xijk????i??j?????ij??ijka?i?1,2,???,a??j?1,2,???,b?k?1,2,???,n?
??i?1i?0, βj: NID(0,σβ2) , (αβ)ij: NID(0,σαβ2)
9.4.2 均方期望与统计量F的确定
各均方期望如下：
E?MSA???E?MSB???E?MSe???相应的检验统计量为：
2222?n???bn???2?an??22?n???E?MSAB???2MSAFA?MSAB混合模型的方差分析表为： 变差来源 A因素 B因素 AB 误 差 总 和
平方和 SSA SSB SSAB SSe SST
MSBFB?MSe均 方 MSA MSB
F
FABMSAB?MSe 均方期望
自由度 a－1 b－1
(a-1)(b-1) MSAB ab(n-1) abn-1
MSe
9.5 两个以上因素的方差分析 9.5.1 平方和与自由度分解的一般规律
平方和的分解，可根据两因素方差分析平方和分解方法，推展出来。如一个三因素固定模型实验，线性统计模型为：
xijkl????i??j??k?????ij?????ik?????jk??????ijk??ijkl?i?1,2,???,a?j?1,2,???,b???k?1,2,???,c??l?1,2,???,n各因素的平方和如下： 残余项为三因素交互作用
SSABC＝SST－SSA－SSB－SSC－SSAB－SSAC－SSBC－SSE 自由度的分解：
主效应自由度是其水平数减1
交互作用自由度是相关因素自由度的乘积 误差自由度各因素水平数乘以重复数减1。
由三因素平方和与自由度的分解的规律，可以很容易得到更多因素时的平方和与自由度。不过，在实际应用时，三个因素实验基本上可以满足需要了。 9.5.2 均方期望的表格化推演方法
平方和与自由度的分解并不很困难，困难的是需要得到可靠的检验统计量，也就是说需要得到各个分量的均方期望。表格法推演是简单可靠的，下面以两因素为例，说明其方法。
几个规定：
①误差εijk写成ε(ij)k，括号内的下标称为死下标，没有括号的下标都是活下标。
222?,?,?②固定模型中各因素的效应分量，分别用????表示。
③随机模型中各因素的方差分量，分别用??,??,???,表示。
④混合模型中，交互作用的两个因素中只要有一个是随机因素，则交互作用即被认为是随机的。
⑤误差方差记为σ2。
222以固定模型为例，说明其推演步骤：
①首先列出右表，线性统计模型中的每个分量占据一行，每个下标占一列。表头上写上因素的类型，固定型记为F，随机型记为R，重复属于随机的，记为R。写上各因素的水平数a、b、n以及每一分量的下标i、j、k。
②在行分量中，若某个死下标与列中的该下标一致，则写上“1”。 ③若每一行分量上的一个活下标与列上的下标一致，且列是以固定因素为表头的，则写上“0”，列是以随机因素为表头的，则写上“1”。
F 因素
F b j
R n k n F i F j R
a i
k αi βj αi (αβ)ijβj ε(ij)k (αβ)ij ε(ij)k ④在其余空白行位置上写上各列表头所标明的水平数。
⑤为了求某一模型分量（因素）的的均方期望，用纸条盖上以其活下标为表头的那一列，然后找出包含该下标的那些行。把未盖上的字母和数字相乘，再乘上相应的固定因素的效应分量或随机模型的方差分量。这些乘积的和，即为该因素的均方期望。
例如求E（MSA），盖上列i，剩下的列是列j和列
因素 a 0
b b n a 0 n 1 0 1 n 0 1 F a i 1 F b j
1 R n k 因素
αi βj
0
0 0 1
1
k，包含i的行是4、3、1。这三行中未盖上的数字和（或）字母的乘积为1、0、和bn，由此得出因素A的均方期望：
(αβ)ij 0 ε(ij)k 1
222E?MSA??1???0?????bn?????2?bn??同理可以推出：
2E?MSB???2?an??,2E?MSAB???2?n???,E?MSe???2一个完整的两因素混合模型（A固定，B随机）的例子如下：
F 因 素
R b j R n k
a i 均方期望
αi βj (αβ)ij 0 a 0 1 b 1 1 1 n n n 1
ε(ij)k 9.5.3 统计量F的确定
xijkl????i??j??k?????ij?????ik?????jk??????ijk??ijkl?i?1,2,???,a?j?1,2,???,b???k?1,2,???,c??l?1,2,???,n一个混合模型A、C固定，B随机，均方期望的推演如下：
F 因 素
R b j b 1
F c k c c 0
R n l n n n n n n n 1
a i 均方期望
αi βj γk (αβ)ij (αγ)ik (βγ)jk (αβγ)ijk ε(ijk)l 0
a a 0 0
b 1
c 0 0 0 1
b 1 1 1
a 0 1
根据均方期望可以得出各因素的检验统计量：
MSAFA?,MSABFABFABCMSAB?,MSeMSABC?MSeMSBFB?,MSeFACMSAC?MSABCMSCFC?,MSBCFBCMSBC?MSe9.7 变换
有些实验数据不能满足方差分析的三个条件，这时需要进行坐标变换，使变换后的数据满足上述条件，用变换后的数据进行方差分析。 9.7.1 平方根变换
属于泊松分布的数据，它们的平均数与方差等值，满足方差齐性要求，各处理平均数间的差异必然不显着；反之，当处理平均数之间差异显着时，方差齐性条件必不能满足。这时可以使用平方根变换，即将每一数据取其平方根，用平方根作方差分析。 9.7.2 反正弦变换
对于以百分数表示的二项分布数据，需要作这种变换。方法是：取每个观测值平方根的反正弦值，使之变成一个角度，用该角度作方差分析。 9.7.3 对数变换
当方差与平均数的平方成正比时需作对数变换，变换后的方差具齐性。
生物统计学教案
