第四章 固体电子论 参考答案
1. 导出二维自由电子气的能态密度。 解：
二维情形，自由电子的能量是： k22E(k)??(k?k)xy 2m2m2222π2πk?nk?nyy xLx，L 在k?2mE/到k?dk区间：
SL2mL2dZ?2?dk?2?2πkdk?2dE2 (2π)2ππ 那么：dZ?Sg2(E)dE
mg2(E)?2 其中：π
2. 若二维电子气的面密度为ns，证明它的化学势为：
??π2ns?(T)?kBTln?exp??mkBT?????1? ??解：由前一题已经求得能态密度：
mg2(E)?2
π 电子气体的化学势?由下式决定：
N??g(E)L0?21e?E-??/kBTLm?dEdE?2??E-??/kTB0π?1e?12Nn?sE??/kT?x2 ?? 令，并注意到：BL?1kBTm?xns?e?1?dx 2???/kT?BπkBTm?dex? π2???/kBTex?ex?1?
kBTme?lnx2 πe?1??/kT
Bx?
kBTm?/kBT?lne?1? ?2π 那么可以求出?：
??π2ns?(T)?kBTln?exp??mkBT?????1? ?? 证毕。
3. He3是费米子，液体He3在绝对零度附近的密度为0.081 g／cm3。计算它的费米能EF和费米温度TF。
解：He3的数密度：
NNMN?n??????? VMVMm 其中m是单个He3粒子的质量。
kF??3πn?213?3π2????? ?m?2313 可得：
2?3π??22/3EF?(3n?)??? 2m2m?m?22 代入数据，可以算得： EF ＝6.8x10-16 erg = 4.3x10-4 eV.
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