模块一专题2函数与方程思想

一、选择题

1．(2024·山西忻州一中期中)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )

A．1 C.7 答案 C

解析 设P(x，y)为直线y＝x＋1上任意一点，A为切点，则切线长|PA|＝（x－3）2＋y2－1＝（x－3）2＋（x＋1）2－1＝2（x－1）2＋7≥7，当且仅当x＝1时取等号．即切线长最小值为7.

2．(2024·安徽六校)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S10－S4＝( ) A．1 008 C．2 032 答案 B

解析 依题意，得2(a4＋2)＝a2＋a5，又a1＝2，故4q3＋4＝2q＋2q4.因为q>0，故q＝2，故S10－S4＝2 046－30＝2 016.

π2

3．已知θ∈(0，π)，且sin(θ－)＝，则tan2θ＝( )

4104A. 324C．－

7答案 C

π2221

解析 由sin(θ－)＝，得(sinθ－cosθ)＝，则sinθ－cosθ＝. 41021051??sinθ－cosθ＝5，?sinθ＝5，

因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，解方程组?得?

3??sin2θ＋cos2θ＝1，?cosθ＝5，4

2×342tanθ24

所以tanθ＝，所以tan2θ＝＝＝－.故选C. 23471－tanθ

1－（）2

3

4．(2024·陕西质检二)若(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0对x∈R均成立，则a2＋a4＝( ) A．40 C．80

B．60 D．－120

4

3

B. 424D. 7B．2 016 D．4 032 B．2 D．3

答案 D

解析 令x＝0，得a0＝－1，①

令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，② 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－243，③ 由①②③联立解得a2＋a4＝－120.

5．(2024·江西九校联考)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A，3

B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若|PF|＝，则弦长|AB|为( )

2A．2 C．5 答案 D

解析 抛物线C的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由题意可知直线AB的斜率存在且不为

B．3 D．6

?y＝k（x－1），

0，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?2消去y，得

?y＝4x，

k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则

2k2＋4y1＋y2

x1＋x2＝2，x1x2＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，可得y0＝

k2

k（x1＋x2）－2k12k2＋4211123

＝＝(k·2－2k)＝，x0＝y02＝2，则P(2，)．∵|PF|＝，

22kk4kkk2∴

143

（1－2）2＋2＝，解得k2＝2，因此x1＋x2＝4，根据抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2

kk2

＋2＝4＋2＝6.

6．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( ) A．g(a)<0

解析 首先确定a，b的取值范围，再根据函数的单调性求解． ∵f′(x)＝ex＋1>0，∴f(x)是增函数．

1

∵g(x)的定义域是(0，＋∞)，∴g′(x)＝＋2x>0，

x∴g(x)是(0，＋∞)上的增函数． ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴0

∵g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴10，g(a)<0. 7．(2024·河南六校)矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是( )

2x

(x>0)的图象上，如图，1＋x2

B．f(b)<0

A．π πC. 4答案 A

2x

解析 ∵y＝(x>0)，∴yx2－2x＋y＝0，将其视为关于x的一元二次方程，设x1，x2是2

1＋x2

其两根，则x1＋x2＝，则x1·x2＝1.因此绕x轴旋转而成的几何体的体积V＝πy2|x1－x2|＝

yπy2·4－4y2

＝2πy

1112

－（y2－）2≤π，当且仅当y2＝，即y＝时等号成立．故选A. 4222

π

B. 3πD. 2

x2y2

8．(2024·广东六校第一次联考)已知直线l的倾斜角为45°，直线l与双曲线C：2－2＝1(a>0，

abb>0)的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( ) A.3 C.5－1 答案 D

解析 根据题意及双曲线的对称性，可知直线l过坐标原点，|MF1|＝|NF2|.设点M(－c，y0)，c2－a2c2y02

则N(c，－y0)，2－2＝1，即|y0|＝.由直线l的倾斜角为45°，且|MF1|＝|NF2|＝|y0|，

abac2－a25＋11－5

得|y0|＝c，即＝c，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝或e＝

a22(舍去)．故选D.

9．(2024·湖北襄阳联考)定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足f（x）

>x，则下列不等式成立的是( )

f′（x）

A．3f(2)<2f(3) C．2f(3)<3f(4) 答案 A

f（x）f（x）

解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f′(x)<0.又∵>x，∴f(x)

xf′（x）－f（x）f（3）f（2）

>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(3)>g(2)，即>，

x232

B．3f(4)<4f(3) D．f(2)<2f(1) B.5 D.5＋1

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