《3年高考2年模拟》专有电子资源
1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
课标解读
课标要求
核心素养
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(重
点)
2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(难点)
1.通过对必要条件、充分条件的学习和理解,培养数学抽象的核心素养.
2.体会必要条件、充分条件在数学表达、论证等方面的作用,提升逻辑推理的核心素养.
某居民的卧室里有一盏灯,在卧室门口和床头各有一个开关,任意一个开关都能够独立控制这盏灯,这就是电器上常用的“双刀”开关,如图所示.
问题1:A开关闭合时B灯一定亮吗? 答案 一定亮.
问题2:B灯亮时A开关一定闭合吗? 答案 不一定,还可能是C开关闭合.
1.命题
可以判断真假的陈述句是命题,而且,判断为真的语句称为①真命题,判断为假的语句称为假命题.
2.充分条件与必要条件
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推出 关系 条件 关系
“若p,则q”为真命题
p②?q p是q的④充分条件; q是p的⑤必要条件
“若p,则q”为假命题
p③?/q
p不是q的⑥充分条件; q不是p的⑦必要条件
定理 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件; 关系 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
思考:“x<2”是“x<3”的 条件,“x<3”是“x<2”的 条件.
提示 充分;必要 特别提醒
对充分条件和必要条件的理解
(1)若p?q,则p是q的充分条件.所谓充分,就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.
(2)若p?q,则q是p的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.
(3)若p?/ q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件,也可以称为p是q的不充分条件,q是p的不必要条件.
探究一 充分条件、必要条件的判断
例1 (1)下列各题中,p是q的充分条件的是 (填序号).
①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;
②p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等; ③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.
(2)下列“若p,则q”形式的命题中,q是p的必要条件的有 (填序号). ①若x=1,则x2-4x+3=0; ②若x为有理数,则??为有理数; ③若x=y,则x2=y2.
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答案 (1)③ (2)①③
解析 (1)①∵(x-2)(x-3)=0,∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分条件. ②∵两个三角形面积相等不能推出两个三角形全等, ∴p不是q的充分条件.
③∵m<-2,∴12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件. (2)①∵命题“若x=1,则x2-4x+3=0”是真命题,∴q是p的必要条件. ②当x=0时,x是有理数,??无意义,∴??不是有理数,∴q是p的不必要条件. ③∵x=y,等号左右平方后,等式依然成立,p?q,∴q是p的必要条件. 思维突破
充分条件、必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件,主要判断p成立时,能否推出q成立,反过来,q成立时,能否推出p成立:若p?q为真,则p是q的充分条件,若q?p为真,则p是q的必要条件.
(2)除了用定义判断充分条件、必要条件之外,还可以利用集合间的关系判断,若p构成的集合为A,q构成的集合为B,A?B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
1.(1)下列选项中,p是q的必要条件的是( ) A.p:a=1,q:|a|=1 C.p:a B.p:-1 1 1 (2)“a>2且b>2”是“a+b>4,ab>4”的 条件(填“充分”或“必要”). 答案 (1)D (2)充分 解析 (1)要满足p是q的必要条件,即q?p,只有q:a>b+1?p:a>b,故选D. (2)∵a>2且b>2?a+b>4,ab>4,∴是充分条件. 探究二 根据充分条件或必要条件求参数的范围 例2 已知p:实数x满足3a 解析 p:3a 因为p?q,所以A?B, 1 / 9 《3年高考2年模拟》专有电子资源 3??≥-2, 22 所以{??≤3,?-3≤a<0,即实数a的取值范围是{??|-3≤a<0}. ??<0思维突破 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解. 2.(1)(变条件)将本例中的条件“p:实数x满足3a (2)(变条件)将本例中的条件“q:实数x满足-2≤x≤3”改为“q:实数x满足-3≤x≤0”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解析 (1)p:a 所以{??<-2,?a无实数解. ??>0 (2)p:3a 所以{??≤0,?-1≤a<0, ??<0即a的取值范围是{a|-1≤a<0}. 1.下列语句是命题的是( ) A.今天天气真好啊! B.你怎么又没交作业? C.x>2 D.方程x2+2x+3=0无实根 1 / 9 《3年高考2年模拟》专有电子资源 答案 D A是一个感叹句,不能判断真假,所以不是命题;B是问句,不能判断真假,不是命题;C中x的值不确定,所以不能判断真假,不是命题;D是真命题. 2.使x>3成立的一个充分条件是( ) A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2 答案 A 只有x>4?x>3,其他选项均不可推出x>3. 3.“x2>4”是“x>2”的 条件(填“充分”或“必要”). 答案 必要 解析 x>2?x2>4,故“x2>4”是“x>2”的必要条件. 4.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是 . 答案 a≤1 解析 因为x>1?x>a,所以a≤1. 5.分析下列各题中p与q的关系. (1)p:α为锐角,q:α=45°; (2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0. 解析 (1)由于q?p,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. (2)由于p?q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件. 数学建模——探究性试题的问题转化 已知条件p:x<1-a或x>1+a和条件q:x<2或x>1,是否存在实数a,使p是q的充分条件但不是必要条件?若存在,求出最小的正整数a;若不存在,说明理由. 素养探究:解答此类问题的关键是条件“p是q的充分条件但不是必要条件”的转化,利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解,过程中体现数学建模核心素养. 解析 存在.由题意知a>0.由条件p:x<1-a或x>1+a,可设集合M={x|x<1-a或 1 x>1+a}, 由条件q:x<2或x>1,可设集合N=xx<2或x>1. 要使p是q的充分条件但不是必要条件, 则M?N,应有{1-??≤2, 1+??>1 1 / 9 1 1 1
1.4.1 充分条件与必要条件
