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必修五
知识点串讲
第一章：解三角形 1．1．1正弦定理
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
asinA?bsinB?csinC
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
a?b?c
sinA?sinB?sinCabca?b?c证明出 ???sinAsinBsinCsinA?sinB?sinCabc解：设???k(k>o)
sinAsinBsinC则有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC
a?b?cksinA?ksinB?ksinC从而==k
sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC3aa?b?c又，所以=2 ?2?k?sinAsin600sinA?sinB?sinCabca?b?c评述：在?ABC中，等式????k?k?0?
sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC2、已知?ABC中，?A?600，a?3,求
恒成立。
3、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c
（答案：1：2：3）
1.1.2余弦定理
1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC
从余弦定理，又可得到以下推论：
b2?c2?a2 cosA?2bca2?c2?b2 cosB?2acb2?a2?c2 cosC?2ba 2 /21
2、在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 =12?(6?2)2?43(3?1) =8 ∴b?22.
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)21??, ⑵解法一：∵cosA?2bc22?22?(6?2)
0∴A?60.
a23解法二：∵sinA?sinB??sin450,
b22又∵6?2＞2.4?1.4?3.8,
23＜2?1.8?3.6,
∴a＜c，即00＜A＜900,
0∴A?60.
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
3、在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）
1．1．3解三角形的进一步讨论
1、在?ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况 分析：先由sinB?则C?1800?(A?B) 从而c?bsinA可进一步求出B； aasinC A1．当A为钝角或直角时，必须a?b才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果a?b，那么可以分下面三种情况来讨论：
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（1）若a?bsinA，则有两解； （2）若a?bsinA，则只有一解； （3）若a?bsinA，则无解。
（以上解答过程详见课本第9:10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
2、（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况。 （2）在?ABC中，若a?1，c?1，?C?400，则符合题意的b的值有_____个。 2（3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2?x?22）
3、在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判断?ABC的类型。 解：Q72?52?32，即a2?b2?c2， ∴?ABC是钝角三角形。
4、（1）在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判断?ABC的类型。 （2）已知?ABC满足条件acosA?bcosB，判断?ABC的类型。 （答案：（1）?ABC是钝角三角形；（2）?ABC是等腰或直角三角形） 5、在?ABC中，A?600，b?1，面积为
3a?b?c，求的值 2sinA?sinB?sinCasinA?bsinB?csinC?a?b?c
sinA?sinB?sinC13解：由S?bcsinA?得c?2，
22则a2?b2?c2?2bccosA=3，即a?3，
从而
a?b?ca??2
sinA?sinB?sinCsinA
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1.2解三角形应用举例
1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?，则A、B之间的距离为多少？ 解略：2a km
2、 某人在M汽车站的北偏西20?的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公
路的走向是M站的北偏东40?。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在?ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
AC2?BC2?AB223cosC==,
2AC?BC31432则sin2C =1- cos2C =2,
31123sinC =,
31所以 sin?MAC = sin（120?-C）= sin120?cosC - cos120?sinC =在?MAC中，由正弦定理得 MC =
353 62ACsin?MAC31353?==35
62sin?AMC32从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
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