2．圆的参数方程
[对应学生用书P17]
圆的参数方程
(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θxy
＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝r，sin ωt＝r，?x＝rcosωt
即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为?(t为参数)．其中参数
y＝rsinωt?t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方?x＝rcos θ
程为?(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位
y＝rsin θ?置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
?x＝x0＋Rcos θ(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为?(0≤θ
?y＝y0＋Rsin θ＜2π)．
[对应学生用书P17]
[例1] 圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．
[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，
求圆的参数方程
1
设圆心为O′，连O′M，∵O′为圆心， ∴∠MO′x＝2φ. ?x＝r＋rcos 2φ，∴? y＝rsin 2φ.?
(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如?x＝r＋rcos φ，
本题容易把参数方程写成?
?y＝rsin φ.
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程． 解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1， 设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
?x＝1＋cos θ，
参数方程为?(0≤θ＜2π)．
?y＝sin θ
?x＝cos θ
2．已知点P(2,0)，点Q是圆?上一动点，求PQ中点的轨迹方程，
?y＝sin θ并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点M(x，y)．则 2＋cos θ?x＝，?2?0＋sin θ??y＝2，
1
x＝1＋cos θ，??2即?1??y＝2sin θ，
(θ为参数)
这就是所求的轨迹方程．
2
1
它是以(1,0)为圆心，以2为半径的圆.
[例2] 若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．
[思路点拨] (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．
[解] 令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有 x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x＋y≤25.
即2x＋y的最大值为25，最小值为－25.
圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．
?x＝cos θ，3．已知圆C?与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值
?y＝－1＋sin θ范围．
?x＝cos θ，
解：法一：∵?消去θ，
?y＝－1＋sin θ得x2＋(y＋1)2＝1.
∴圆C的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d＝解得1－2≤a≤1＋2.
法二：将圆C的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0，
3
圆的参数方程的应用
|0－1＋a|
≤1. 2
π
即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋4)． π
∵－1≤sin(θ＋4)≤1，∴1－2≤a≤1＋2.
[对应学生用书P19]
一、选择题
?x＝2＋2cos θ，?1．圆的参数方程为：(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( ) ?y＝2sin θA．(0,2) C．(－2,0)
B．(0，－2) D．(2,0)
?x＝2＋2cos θ，
解析：将?化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．
?y＝2sin θ答案：D
?x＝2cos θ，
2．直线：x＋y＝1与曲线?(θ为参数)的公共点有( )
?y＝2sin θA．0个 C．2个
B．1个 D．3个
?x＝2cos θ，
解析：将?化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的
?y＝2sin θ12
圆，由于＝2<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．
2
答案：C
?x＝2cos θ
3．直线：3x－4y－9＝0与圆：?，(θ为参数)的位置关系是( )
?y＝2sin θA．相切 C．直线过圆心
B．相离
D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离9
d＝5<2，故选D.
4
答案：D
?x＝2＋cos α，
4．P(x，y)是曲线?(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2
?y＝sin α的最大值为( )
A．36 C．26
B．6 D．25
解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A 二、填空题
5．x＝1与圆x2＋y2＝4的交点坐标是________． ?x＝2cos θ，
解析：圆x＋y＝4的参数方程为?
?y＝2sin θ，
2
2
13
令2cos θ＝1得cos θ＝，∴sin θ＝±. 22∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)；(1，－3)
?x＝3cos φ＋4sin φ，
6．参数方程?表示的图形是________．
y＝4cos φ－3sin φ?解析：x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆
22
7．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x1－y1，x1y1)的轨
迹方程是________．
解析：设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．
2
x＝x21－y1＝cos 2θ，??则?1y＝xy＝11?2sin 2θ.?
x＝cos 2θ，??
即?1为所求． y＝sin 2θ，??2
5
高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 一 2. 圆的参数方程含答案
