好文档 - 专业文书写作范文服务资料分享网站

等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

天下 分享 时间: 加入收藏 我要投稿 点赞

一、等差等比数列基础知识点

(一)知识归纳: 1.概念与公式:

①等差数列:1°.定义:若数列{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列;

2°.通项公式:an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d; 3°.前n项和公式:公式:Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22an?1?q(常数),则{an}称等比数列;2°.通项公式:an②等比数列:1°.定义若数列{an}满足an?a1qn?1?akqn?ka1?anqa1(1?qn);3°.前n项和公式:Sn??(q?1),当q=1时Sn?na1.

1?q1?q2.简单性质:

①首尾项性质:设数列{an}:a1,a2,a3,?,an,

1°.若{an}是等差数列,则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??; 2°.若{an}是等比数列,则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??. ②中项及性质:

1°.设a,A,b成等差数列,则A称a、b的等差中项,且A?a?b; 22°.设a,G,b成等比数列,则G称a、b的等比中项,且G??ab. ③设p、q、r、s为正整数,且p?q?r?s, 1°. 若{an}是等差数列,则ap?aq?ar?as; 2°. 若{an}是等比数列,则ap?aq?ar?as; ④顺次n项和性质:

1°.若{an}是公差为d的等差数列,则?a,?a,?akkk?1k?n?12nk?2n?13nnkkn2n3nk组成公差为n2d的等差数列;

2°. 若{an}是公差为q的等比数列,则偶数时这个结论不成立)

⑤若{an}是等比数列,

?a,?a,?ak?1k?n?1k?2n?1k组成公差为qn的等比数列.(注意:当q=-1,n为

则顺次n项的乘积:a1a2?an,an?1an?2?a2n,a2n?1a2n?2?a3n组成公比这qn的等比数列.

1

2

⑥若{an}是公差为d的等差数列,

1°.若n为奇数,则Sn?na中且S奇?S偶?a中(注:a中指中项,即a中?an?1,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶

2数项的和);

2°.若n为偶数,则S偶?S奇?nd. 2(二)学习要点:

1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证明的性质解题.

3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m(或a-m,a,a+m)”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq2(或

a,a,aq)”③四数成等差数列,可设四数为q“a,a?m,a?2m,a?3m(或a?3m,a?m,a?m,a?3m);”④四数成等比数列,可设四数为“a,aq,aq,aq(或23aa3,?,aq,?aq),”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验. 3qq[例1]解答下述问题:

111,,成等差数列,求证: abcb?cc?aa?b(1)成等差数列; ,,abcbbb(2)a?,?,c?成等比数列.

222(Ⅰ)已知

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,

112a?c2①c ),?????2ac?b(a?acbacb②

22b?ca?bbc?c?a?abb(a?c)?a2?c2(1)????acacac2(a?c)22(a?c)??.b(a?c)b

b?cc?aa?b?,,成等差数列;abcbbbb2b(2)(a?)(c?)?ac?(a?c)??(?)2,22242bbb?a?,?,c?成等比数列.222?[评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根据“定义”判断,.

① (Ⅱ)等比数列的项数n为奇数,且所有奇数项的乘积为1024,所有偶数项的乘积为

1282,求项数n. ②

2

[解析]设公比为q,?n?12a1a3a5?an1024??42

a2a4?an?11282(1)

35252?a1?q?42而a1a2a3?an?1024?1282?2?(a1?q?n?1n2352?a1?qn3521?2?3??(n?1)?2352)?2,将(1)代入得(2)?2,

5n35?,得n?7.22(Ⅲ)等差数列{an}中,公差d≠0,在此数列中依次取出部分项组成的数列:

ak1,ak2,?,akn恰为等比数列,其中k1?1,k2?5,k3?17,

求数列{kn}的前n项和.

[解析]?a1,a5,a17成等比数列,?a5?a1?a17,

2?(a1?4d)2?a1?(a1?16d)?d(a1?2d)?0?d?0,?a1?2d,?数列{akn}的公比q?a5a1?4d??3,a1a1①②

?akn?a1?3n?1?2d?3n?1而akn?a1?(kn?1)d?2d?(kn?1)d由①,② 得kn?2?3n?1?1,3n?1{kn}的前n项和Sn?2??n?3n?n?1.3?1[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题:

(Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去4,又成等比数列,求原来的三数.

[解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为a-d, a, a+d,则有

22???(a?d)(a?d?32)?a?d?32d?32a?0???22??(a?4)?(a?d)(a?d)??8a?16?d826?3d2?32d?64?0,?d?8或d?,得a?10或,

39226338?原三数为2,10,50或,,.999(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数. [解析]设此四数为a?15,a?5,a?5,a?15(a?15),

3

?(a?152)?(a?5)2?(a?5)2?(a?15)2?(2m)2(m?N?)?4a2?500?4m2?(m?a)(m?a)?125,?125?1?125?5?25,?m?a与m?a均为正整数,且m?a?m?a,?m?a?1?m?a?2?????m?a?125?m?a?25解得a?62或a?12(不合),?所求四数为47,57,67,77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.

二、等差等比数列练习题

一、 选择题

1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( )

(A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 2.、在等差数列

(A)an?an?中,a1?4,且a1,a5,a13成等比数列,则?an?的通项公式为 ( )

?3n?1 (B)an?n?3 (C)an?3n?1或an?4 (D)an?n?3或an?4

3、已知a,b,c成等比数列,且x,y分别为a与b、b与c的等差中项,则

ac?的值为 ( ) xy(A)

1 (B)?2 (C)2 (D) 不确定 24、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列,x是a,b的等比中项,

y是b,c的等比中项,那么x2,b2,y2三个数( )

(A)成等差数列不成等比数列 (B)成等比数列不成等差数列 (C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 5、已知数列

?an?的前n项和为Sn,S2n?1?4n2?2n,则此数列的通项公式为 ( )

?2n?2 (B)an?8n?2 (C)an?2n?1 (D)an?n2?n

(A)an6、已知(z?x)2?4(x?y)(y?z),则 ( )

(A)x,y,z成等差数列 (B)x,y,z成等比数列 (C)

111111,,成等差数列 (D),,成等比数列 xyzxyz7、数列

?an?的前n项和Sn?an?1,则关于数列?an?的下列说法中,正确的个数有 ( )

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

4

8、数列1

1111,3,5,7,?,前n项和为 ( ) 248161111112222(A)n?n?1 (B)n?n?1? (C)n?n?n?1 (D)n?n?n?1?

2222229、若两个等差数列

?an?、?bn?的前n项和分别为An 、Bn,且满足

87 (C)

An4n?2?Bn5n?5

,则

a5?a13b5?b13的值为 ( )

(A)

10、已知数列

79 (B)

197 (D)208?an?的前n项和为Sn?an?的通项公式an?n2?5n?2,则数列?an?的前10项和为 ( )

(A)56 (B)58 (C)62 (D)60

11、已知数列

?n?5为, 从?an?中依次取出第3,9,27,…3n, …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列

的前n项和为 ( )

n(3n?13)3n?10n?33n?1?10n?3n(A) (B)3?5 (C) (D)

22212、下列命题中是真命题的是 ( )

A.数列

?an?是等差数列的充要条件是an?an?的前n项和为Sn?pn?q(p?0)

B.已知一个数列C.数列

?an2?bn?a,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

?an?是等比数列的充要条件an?an?的前n项和Sn?abn?1

D.如果一个数列二、填空题

?abn?c(a?0,b?0,b?1),则此数列是等比数列的充要条件是a?c?0

13、各项都是正数的等比数列

?an?,公比q?1a5,a7,a8,成等差数列,则公比q=

a1?a5?a17a2?a6?a18=

14、已知等差数列

?an?,公差d?0,a1,a5,a17成等比数列,则

1?1?an,则an= 415、已知数列

?an?满足Sn16、在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列

18、已知等差数列

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数。

?an?是公差d不为零的等差数列,数列?ab?是公比为q的等比数列,b1?1,b2n?10,b3?46 ,求公比q及bn。

?an?的公差与等比数列?bn?的公比相等,且都等于d(d?0,d?1) ,a1?b1 ,a3?3b3,a5?5b5,求an,bn。

5

等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

一、等差等比数列基础知识点(一)知识归纳:1.概念与公式:①等差数列:1°.定义:若数列{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列;2°.通项公式:an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d;3°.前n项和公式:公式:Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d.22an?1?q(常数),则{an}称
推荐度:
点击下载文档文档为doc格式
7ga2d1qspm6gjog0oag4
领取福利

微信扫码领取福利

微信扫码分享