第4讲 基本不等式
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·浙江模拟]已知x>0，y>0，则“xy＝1”是“x＋y≥2”的( )
B．必要不充分条件A．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2xy＝2；反之，取x＝3，y＝1，则满足x＋
y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不必要条件．故选A.
B．最大值1D．最大值2
2x
2．当x>0时，函数f(x)＝有( )
x2＋1
A．最小值1 C．最小值2
答案 B
2
解析 ∵x>0，∴f(x)＝≤1.故选B.
1x＋x
12
3．[2015·湖南高考]若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )
ab
12
解析 由ab＝＋≥2ab
A.2 B．2 C．22 D．4
答案 C
212
，得ab≥22，当且仅当＝时取“＝”．选C.abab
－
＋
(－6≤a≤3)的最大值为( )
4．[2018·人大附中模拟]
932
A．9 B. C．3 D.
22
解析 因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知
－
答案 B＋
≤
－
＋
2
＋
93
＝，当且仅当a＝－时等号成立．22
x2＋2
5．[2018·秦皇岛模拟]函数y＝(x>1)的最小值是( )
x－1
x2－1＋3
解析 ∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝
x－1
A．23＋2 B．23－2 C．23 D．2
－
＋x－1
答案 A
＋33＝x＋1＋＝x－1＋
x－1
3
＋2≥23＋2(当且仅当x＝1＋3时取“＝”)．选A.x－1
6．设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )
A．40 B．10 C．4 D．2
答案 D
解析 ∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，
∴x＋4y≥2x·4y＝4xy(当且仅当x＝4y时取“＝”)，
∴4xy≤40.∴xy≤100.
∴lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 100＝2.
∴lg x＋lg y的最大值为2.
?1a?7．[2018·山西模拟]已知不等式(x＋y)?＋?≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数?xy?
a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
xy?1a?2
解析 (x＋y)?＋?＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)，
yx?xy?
xy22
当且仅当a·＝，即ax＝y时“＝”成立．
yx
?1a?2
∴(x＋y)?＋?的最小值为(a＋1)≥9.
?xy?
∴a≥4.
8．[2017·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是
________．答案 30
6003600
解析 一年的总运费为6×＝(万元)．
xx
3600
因为＋4x≥2
x
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为?
?3600＋4x?万元．
?
?x?
36003600
·4x＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，xx
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
1
9．函数y＝2x＋(x>1)的最小值为________．
x－1
解析 因为y＝2x＋
答案 22＋2
111(x>1)，所以y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋x－1x－1x－1
当且仅当x＝1＋2－
1
＝22＋2.x－1
21时取等号，故函数y＝2x＋(x>1)的最小值为22＋2.2x－1
10．[2018·正定模拟]若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
答案 5
13
解析 由x＋3y＝5xy，可得＋＝1，
5y5x
943x12y13
＝＋＋＋≥＋2 555y5x5
?13?所以3x＋4y＝(3x＋4y)?＋??5y5x?
3x12y13121·＝＋＝5，当且仅当x＝1，y＝时取等号，故5y5x552
[B级 知能提升]
3x＋4y的最小值是5.
14y2
1．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋ xy4 B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 是( ) A．(－1,4) C．(－4,1) 答案 B y?y??14?4xy?y?解析 ∵x>0，y>0，∴x＋＝?x＋??＋?＝2＋＋≥4，∴?x＋?min＝4，4?4??xy?y4x?4? ∴m－3m>4，解得m<－1或m>4.选B. 2 21 2．设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为( ) ab－1 B．6 D．22 A．3＋22 C．42 答案 A 21?21?＋解析 由题可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，∴＋＝??(a＋b－1)＝2＋ ab－1?ab－1? －a a＋＋1≥3＋22，当且仅当b－1 －a ＝ a ，即a＝2－2，b＝2时等号成b－1 2 2 立．故选A. 3．[2018·湖北八校联考]已知正数a，b满足2a＋b＝3，则ab2＋1的最大值为 解析 ab2＋1＝ ________． 2 答案 221222 ×2ab2＋1≤×(2a＋b＋1)＝×(3＋1)＝2，2224 当且仅当2a＝b2＋1，且2a＋b＝3， 22 即a＝1，b＝1时，等号成立． 22 故ab2＋1的最大值为2. 11 4．[2018·郑州模拟]若a>0，b>0，且＋＝ab. ab (1)求a＋b的最小值； 33 (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
2019版高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式增分练
