uuur?b2?uuur所以AB??a,b?,OP??c,?,
?a?uuuruuuruuuruuurb2因为AB??OP,所以AB//OP,则bc?a?,即c?b,所以a?2c,
a又有a??c, 所以?=2, 故答案为：2 【点睛】
本题考查椭圆的几何性质的应用,考查平面向量共线定理的应用
16．已知正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长为m?m?Z?，底面边长为n?n?Z?，内有一个体积为V的球，若V的最大值为?，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______. 【答案】57? 【解析】 【分析】
求出正三棱柱底面内切圆r1、外接圆的半径，对r1?积的最小值. 【详解】
解：因为正三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长为m?m?Z?，底面边长为n?n?Z?，
92mm和r1?分类讨论，即可求出此三棱柱外接球表面22则底面三角形的内切圆的半径r1?33n，外接圆的半径r2?n 63三棱柱内的球的体积V的最大值为?，此时球的半径r?923， 2当r1?m33，即m?n， n时，三棱柱的内的球的半径r?263394?3?3?33?3?； n?n，因为，所以不可能为V取得最大值??n?Zn???23?6?5454mm4?m??3当r1?，即m?n时，三棱柱的内的球的半径r?，V取得最大值????m3
223?2?63
3??93m3??解得m?3，又m?n，n?Z所以n?6，n?Z 62322n29?m??3n?2设正三棱柱外接球的半径为R，则R??????? ???34?2??3??n29???.当n?6时，S取得最小值Smin?57? 正三棱柱外接球表面积S?4?R?4??34??2故答案为：57? 【点睛】
本题考查球的内切和外接问题，以及球的表面积体积的计算问题，属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17．已知VABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若?2a?c?cosB?bcosC?0. (1)求角B的大小；
(2)若b?2,a?c?23， 求VABC的面积S.
【答案】(1) B?【解析】 【分析】
?3 (2) 23 3（1）用正弦定理将已知等式化为角，再利用两角和的正弦公式，即可求得角B的三角函数值，进而求解； （2）由余弦定理求出ac，即可求出面积. 【详解】
解:(1)Q由?2a?c?cosB?bcosC?0 可得: ?2sinA?sinC?cosB?sinBcosC.
?2sinAcosB?sinBcosC?cosBsinC
可得:2sinAcosB?sin?B?C??sinA
QA?(0,?),sinA?0.?可得cosB?又由B?(0,?)得B?1 2?3又由B?(0,?)得B??3.
(2)由余弦定理及已知得b2?a2?c2?2accosB??a?c??3ac
28?4?12?3ac,?ac?
3?S?123. acsinB?23【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形以及求面积，属于中档题.
18．如图，在多面体ABD﹣A1B1C1D1中四边形A1B1C1D1，ADD1A1．ABB1A1均为正方形．点M是BD的中点．点H在线段C1M上，且A1H与平面ABD所成角的正弦值为
22． 11
（Ⅰ）证明：B1D1∥平面BC1D：
（Ⅱ）求二面角A﹣A1H﹣B的的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）【解析】 【分析】
(Ⅰ)构造正方体证明BD∥B1D1即可.
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用A1H与平面ABD所成角的正弦值为二面角的方法求解即可. 【详解】
（Ⅰ）证明：如图,构造正方体ABED﹣A1B1C1D1, 结合正方体ABED﹣A1B1C1D1,得BD∥B1D1,
3182． 8622可求得H的坐标,再利用空间向量求11
∵BD?平面BC1D,B1D1?平面BC1D, ∴B1D1∥平面BC1D．
（Ⅱ）解：以D为原点,DA为x轴,DE为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系, 设AD＝2,则M（1,1,0）,C1（0,2,2）,A1（2,0,2）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,
uuuuruuuur设H（a,b,c）,C1H??C1M,（0≤λ≤1）,则（a,b﹣2,c﹣2）＝（λ,﹣λ,﹣2λ）,
∴H（λ,2﹣λ,2﹣2λ）,
uuuurr平面ABD的法向量p?（0,0,1）,A（λ﹣2,2﹣λ,﹣2λ）, 1H?∵A1H与平面ABD所成角的正弦值为
22． 11uuuurrA1H?p2?22?rr?∴uuuu,
22211A1H?p(??2)?(2??)?(?2?)解得??uuuuruuuruuur33A1H?（?,,﹣1）,A1A?（0,0,﹣2）,A1B?（0,2,﹣2）,
22r设平面AA1H的法向量n?（x,y,z）,
v33?ruuuun?AH??x?y?z?0?r1则?uuu,取x＝1,得22n?（1,1,0）, vr??n?A1A??2z?0r设平面A1HB的法向量m?（x,y,z）,
131,（舍负）,∴H（,,1）, 222v33?ruuuum?AH??x?y?z?05?r1则?uuu,取y＝1,得（,1,1）, 22m?vr3??m?A1B?y?z?0设二面角A﹣A1H﹣B的平面角为θ,
rrm?n则cosθ?rr?m?n732?439?7, 86∴二面角A﹣A1H﹣B的正弦值为： sinθ?1?(723182)?．
8686
【点睛】
本题主要考查了线面平行的证明以及建立空间直角坐标系求解面面角的问题,属于中等题型.
19．为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段?70,75?，?75,80?，?80,85?，?85,90?，?90,95?，95,100，到如图所示的频率分布直方图.
??
（1）求图中a的值及样本的中位数与众数；
（2）若从竞赛成绩在?70,75?与95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M,求事件M发生的概率.
（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在95,100内的为一等奖,得分在?90,95?内的为二等奖, 得分在?85,90?内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设?为获得三等奖的人数,求?的分布列与数学期望. 【答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)【解析】 【分析】
（1）根据小矩形的面积之和等于1，列出方程，求得a的值，根据中位数定义估计中位数的范围，在列出
????7；(3)详见解析 15
备战2020年高考数学(理科)全真模拟试卷及解析(十一)
