等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳： 1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列；
2°.通项公式：an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d; 3°.前n项和公式：公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22②等比数列：1°.定义若数列{an}满足an?1，则{an}称等比数列；2°.通项公式：?q（常数）
anan?a1qn?1?akqn?ka1?anqa1(1?qn)?(q?1),当q=1时Sn?na1. ;3°.前n项和公式：Sn?1?q1?q2．简单性质：
①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3,?,an,
1°.若{an}是等差数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??; 2°.若{an}是等比数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??. ②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A?a?b; 22°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G??ab. ③设p、q、r、s为正整数，且p?q?r?s, 1°. 若{an}是等差数列，则ap?aq?ar?as; 2°. 若{an}是等比数列，则ap?aq?ar?as; ④若{an}是等比数列，
则顺次n项的乘积：a1a2?an,an?1an?2?a2n,a2n?1a2n?2?a3n组成公比为qn的等比数列. ⑤若{an}是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数，则Sn?na中且S奇?S偶?a中(注:a中指中项,即a中?an?1,而S奇、S偶指所有奇数项、
22所有偶数项的和）；
1
2°.若n为偶数，则S偶?S奇?nd. 23．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a-m,a,a+m”②三数成等比数列，可设三数为“
a，a, aq)”③四数成等差数列，可设四数为q“a?3m,a?m,a?m,a?3m;”④四数成等比数列，可设四数为“
[例]解答下述问题：
aa3,?,aq,?aq,”等等； 3qq（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.
二、等差等比数列练习题
一、
选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在
2.、在等差数列?an?中，a1?4,且a1,a5,a13成等比数列，则?an?的通项公式为 （ ）
（A）an?3n?1 （B）an?n?3 （C）an?3n?1或an?4 （D）an?n?3或an?4 3、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则
ac?的值为 （ ） xy 2
1（A） （B）?2 （C）2 （D） 不确定
24、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么x2，b2，y2三个数（ ）
（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列 （C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列?an?的前n项和为Sn,S2n?1?4n2?2n,则此数列的通项公式为 （ ）
（A）an?2n?2 （B）an?8n?2 （C）an?2n?1 （D）an?n2?n
6、已知(z?x)2?4(x?y)(y?z)，则 （ ）
111111（A）x,y,z成等差数列 （B）x,y,z成等比数列 （C）,,成等差数列 （D）,,成
xyzxyz等比数列
7、数列?an?的前n项和Sn?an?1，则关于数列?an?的下列说法中，正确的个数有 （ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
11118、数列1,3,5,7,?,前n项和为 （ ）
24816111111（A）n2?n?1 （B）n2?n?1? （C）n2?n?n?1 （D）n2?n?n?1?
2222229、若两个等差数列?an?、?bn?的前n项和分别为An 、Bn，且满足
An4n?2a?a13，则5的值为（ ） ?Bn5n?5b5?b1378197（A） （B） （C） （D）
2097810、已知数列?an?的前n项和为Sn?n2?5n?2,则数列?an?的前10项和为 （ ）
（A）56 （B）58 （C）62 （D）60
11、下列命题中是真命题的是 ( ) A．数列?an?是等差数列的充要条件是an?pn?q(p?0)
B．已知一个数列?an?的前n项和为Sn?an2?bn?a,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
3
C．数列?an?是等比数列的充要条件an?abn?1
D．如果一个数列?an?的前n项和Sn?abn?c(a?0,b?0,b?1),则此数列是等比数列的充要条件是
a?c?0
二、填空题
12、各项都是正数的等比数列?an?，公比q?1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q= 13、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为
14、已知等差数列?an?，公差d?0,a1,a5,a17成等比数列，则
115、已知数列?an?满足Sn?1?an,则an= 4a1?a5?a17=
a2?a6?a18二、 解答题
16、已知数列?an?是公差d不为零的等差数列，数列abn是公比为q的等比数列，b1?1,b2?10,b3?46 ，求公比q及bn。
17、已知等差数列?an?的公差与等比数列?bn?的公比相等，且都等于d(d?0,d?1) ,a1?b1 ，
??a3?3b3,a5?5b5,求an,bn。
18、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
4
19．已知数列1,3a,5a2,?,(2n?1)an?1(a?0)，求前n项和。(错位相减法求和)
2242(2n)220.求和Sn? ????1?33?5(2n?1)(2n?1)（裂项相消法求和)
21、数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1? （Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?bb成等比数列，求1,a2?b2,a3?3Tn
22、已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).
（I）求数列?an?的通项公式； （II）若数列?bn?满足4b1?1.4b2?1...4bn?1?(an?1)bn(n?N?)，证明：?bn?是等差数列；
5
等差等比数列基础知识点
