分式难题类型及解题方法
一.分式的意义及分式的值
2x?a例题1、当x=3时，分式的值为0，而当x=2时，分式无意义，则求ab的值时多
5x?3b少？
例题2、不论x取何值，分式
1总有意义，求m的取值范围。 2x?2x?m二.有条件的分式的化简求值
(一)、着眼全局，整体代入
3a2?12ab?12b2例3、已知a?2b?2006，求的值.
2a?4b
例4、已知
112x?3xy?2y??3，求的值. xyx?2xy?y
二、巧妙变形，构造代入
(x?2)3?(x?1)2?1例5、已知x?5x?2001?0，求的值.
x?22
例6. 已知a，b，c不等于0，且a?b?c?0， 求a(?)?b(1b1c1111?)?c(?)的值. acab
三、参数辅助，多元归一 例7 、已知 .
xyzxy?yz?zx??，求2的值。 22234x?y?z四、打破常规，倒数代入
1x2例8、已知x??4，求4的值.
xx?x2?1
例9. 已知
abcab1bc1ac1?,?,?,求的值.
ab?ac?bca?b3b?c4a?c5
(五)活用(完全平方)公式,进行配方.
x2?4y2x例10.设实数x,y满足x?y?8x?6y?25?0，求2的值。 ?x?4xy?4y2x?2y22
(六)大胆消元,解后代入
例11.已知a＋b－c=0，2a－b+2c=0(c≠0),求
3a?2b?5c的值.
5a?3b?2c三. 无条件的分式的求值计算
例10.计算:
例题11、计算
1111＋＋＋…＋。
a(a?1)(a?1)(a?2)(a?2)(a?3)(a?2005)(a?2006)222?????
(x?1)(x?3)(x?3)(x?5)(x?2007)(x?2009)
四.分式方程的无解及增根
(1)给出带参数的分式方程求增根
例12.关于x的方程
26x3?2?有增根．则增根是( ) x?2x?4x?2A 2 B.-2 C.2或-2 D. 没有
(2)已知分式方程的增根求参数的值
例13. 分式方程
xmx有增根x?1，则m的值为多少？ ??x?1x?1x?1
(3)已知分式的的有增根求参数值 例14. 已知分式方程
3ax?3??2有增根，求a的值。 xx?1
(4)已知分式方程无解求参数的值 例 15（2007湖北荆门）若方程
x?3m=无解，则m=——————． x?22?xx?3m解：原方程可化为=－．
x?2x?2方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m．
因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解．
2ax3??例16.当a为何值时，关于x的方程①无解？ x?2x2?4x?2此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2） 整理得（a－1）x＝－10 ②
若原方程无解，则有两种情形：
（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．
综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．
结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义．
(5)已知分式方程解的情况求参数的范围
例17.已知关于x的方程
五.阅读理解型问题 例18.阅读下列材料 方程方程
xm?2?有负数解，求m的取值范围。 x?33?x11111111
－=－的解为x=1, 方程－=－的解为x=2,
xx?1xx?2x?3x?1x?3x?41111－=－的解为x=3,… x?1x?2x?4x?5(1) 请你观察上述方程与解的特征,写出能反映上述方程一般规律的方程,并求出这个方程的解.
(2) 根据(1)中所求得的结论,写出一个解为－5的分式方程.
例19.阅读下列材料:
111=c＋的解是x1=c，x2=;
ccx11?1?11x－= c－，即x＋=c+的解是x1=c，x2=－；
ccxxc222x＋=c＋的解是x1=c，x2=；
xcc333x＋=c＋的解是x1=c，x2=.
ccxmm(1) 请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程x＋=c＋(m≠0)与它的关系,猜想
xc关于x的分式方程x＋
它的解是什么,并利用方程解的概念进行验证.
(2) 由上述的观察,比较,猜想,验证可以的出结论;
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常数.
那请你利用这个结论解关于x的方程:x＋
22=a+ x?1a?1
练一练: 1.已知 2.已知
112x?3xy?2y的值. ??5,求
xyx?2xy?y11xy?2xy的值 ??2,求分式?xy3x?3y3x?3y2b22b)(1?)的值 3. 若a?b?3ab,求分式(1?22a?ba?b22
4. 若ab?1,求
11?的值
1?a21?b211x?3x2?2x?1??5.已知x?2?,试求代数式的值
xx?1x2?1x2?4x?3a?b3a2?b2?,求分式6.已知的值 a?b2ab.7.已知
y3yxx=，求＋－的值. x4x?yx?yx?yxx2?2,求分式48. 若2的值. 2x?3x?1x?x?111xx21?)?(2?x)的值. 9.已知2,求(?1?x1?xx?1x?21?2 10. 若
xyz??，求x+y+z的值 a?bb?cc?aabc???1。
ab?a?1bc?b?1ac?c?111. 已知abc=1，求证：
关于x的方程
xm-2=有一个正数解，求m的取值范围。 x?3x?3x21121??y??fx?1?x22；18、如果记 ，并且f?1?表示当x=1时y的值，即f(1)=1?12f(2)
1()212?1111151?()22表示当x=2时y的值，即f(2)=；…那么f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+…
1+f(n)+f(n)= （结果用含n的代数式表示）。
分式难题类型及解题方法
