2024届江苏省高三上学期12月月考数学试卷【含答
案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
题号 得分 一 二 总分 一、填空题
1. 已知集合
2. 已知虚数 满足
3. 抛物线 4. 角
5. 设函数 f (x) ＝
cos( ω x＋ φ )，对任意x∈R都有
) 的值
，
，则
等于______________ ．
，则 ______________ ．
的准线方程为______________ ．
的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 的值是______________ ．
，则
，若函数 g(x) ＝3sin( ω x＋ φ )－2，则 g (
为_________．
”是“ ”成立的________条件.(填“充分不必6. “
要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 7. 若
为等差数列
的前 项和,
则
与
的
等比中项为___.
8. 设函数 f (x) 在 (0, ＋∞ ) 内可导 ， 且 f ( e x ) ＝x＋e x ， 则
＝ __________ ．
9. 若实数
满足 ，则 的最大值为_________.
10. 在边长为1的正
则
11. 已知
则
是定义在
中，向量 ，且
的最大值为________.
上的奇函数，且
_________.
当 时，
ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x 2 ＋y 2 ＝1(O是坐标原点)相12. 已知直线
交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为______．
13. 已知抛物线
和
所围成的封闭曲线，给定点
，
若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点 范围是 .
对称，则实数 的取值
14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54 =2014，且存在正整数k，使a 1 ，a 54 ，a k 成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为_________________________________ ．
二、解答题
15. 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.
（1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF； （2）求证：EF//平面ABCD.
16. 已知向量m＝
（ 1 ） 若 m n＝1，求cos
，n＝
的值；
.
（ 2 ） 记f(x)＝ m n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a， b，c，且满足( 2a －c)cos B＝bcos C， 求函数f(A)的取值范围．
17. 在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：
的离心率为
，
右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O： 相切于点M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求 | PM | | PF | 的取值范围； （3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.
18. 某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段
关于坐标轴或原点对称，线段 的方程为 ，在
海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行。有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海
湾，在点 声的时刻晚 的体积）
处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N
（设海面上声速为
测得汽笛
）。若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船
（1） 问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？ （2） 这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由 ．
19. 对于函数 函数 和 （1）当 （2）已知 （3）设
，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称 在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数 , , ，
.
时, 判断函数 和 是否相切？并说明理由； ，且函数 和 相切，求切点P的坐标；
，问是否存在符合条件的函数
和
，点P的坐标为
，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为
中， ，且对任意的 20. 在数列
公比为 ． （1）若 =2( )，求 （2）若对任意的
．
① 求证： 成等差数列，并指出其公差； ② 若 =2,试求数列 的前 项的和
21. 已知矩阵 的直线方程.
，
，
，
,
呢？（结论不要求证明）
成等比数列，其
；
成等差数列，其公差为
，设
．
的一个特征值是3，求直线 在 作用下
22. 已知直线 经过点 ， 倾斜角 ．
（1）写出直线 的参数方程； （2）设 与圆
相交与两点
，求点
到
两点的距离之积．
23. 抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设 为随机变量，若 为小于1的分数，则
；若
为整数，则
．
；若
为大于1的分数，则
．
（1）求概率 ；
（2）求 的分布列，并求其数学期望
24. 已知
（1）若 （2）求证：
恒有
展开式的各项依次记为
的系数依次成等差数列，求正整数 的值；
设函数
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
2024届江苏省高三上学期12月月考数学试卷含答案及解析
