际产量MPL达到极大值。
（3）当劳动的平均产量APL达到最大时，一定有APL＝MPL，
50即?0.5L?20?＝?L?20，得：L?10
L此时APL＝MPL＝10。
4．已知生产函数为Q?min?2L,3K?，求： （1）当产量Ｑ＝36时，L与K值分别为多少？
（2）如果生产要素的价格分别为PL?2,PK?5，则生产480单位产量的最小成本是多少？
解：（1）生产函数Q?min?2L,3K?表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，当场上进行生产时，总有Q?2L?3K。
因为已知Q=36，解得L＝18，K＝12。 （2）由Q?2L?3K，Q=480，可得： L＝240，K＝160
又因PL＝2，PK＝5，所以有：
TC?L?PL?K?PK?240?2?160?5?1280
即生产480单位产量的最小成本为1280。 5．已知生产函数为： （1）Q?5L1/3K2/3； （2）Q?KL； K?L（3）Q?KL2； （4）Q?Min(3L,K)。
求：（1）厂商的长期生产的扩展线方程；
（2）当PL?1,PK?1,Q?1000时，厂商实现成本最小的要素投入的组合。 解：（1）①对于生产函数Q?5L1/3K2/3来说，有：
MPK?10L1/35L()，MPL?()?2/3 3K3KMPLPL?，可得： MPKPK由最优要素组合的均衡条件
PL2L ?PKK 31
即厂商长期生产扩展线方程为：
K?2PLL。 PK2PLL?2L PK②当PL?1,PK?1,Q?1000时，有：K?代入生产函数Q?5L1/3K2/3中，可解得：Q?5?22/3L
即当Q?1000时，L?10032，K?20032。 （2）①对于生产函数Q?KL来说，有： K?LK(K?L)?KLK2MPL??2(K?L)(K?L)2MPK?L(K?L)?KLL?(K?L)2(K?L)22，
由
PMPLPLK?，可得：L?()2
PKLMPKPKPL1/2)L。 PK即厂商长期生产扩展线方程为K?(②当PL?1,PK?1,Q?1000时，有：K?L 代入生产函数Q?KL中，得：L＝K＝2Q＝2000 K?L即当Q?1000时，L?K?2000。
（3）①对于生产函数Q?KL2,MPL?2KL,MPK?L2， 由
MPLPL?，可得： MPKPK2KPL? LPK则K?PLL即为厂商长期生产扩展线方程。
2PK②当PL?1,PK?1,Q?1000时，有：
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K?PLLL? 2PK22L3代入生产函数Q?KL中，可得：1000?
2解得：L?1032,K?L?532 2L1?的固K3定投入比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线K＝3L上，即厂商的长期扩展线函数为K＝3L。
1000②由Q?3L?K?1000，得：K?1000，L?
3
（3）①生产函数Q?min(3L,K)是固定比例生产函数，厂商按照6．已知生产函数
。
判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？
（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？ 解：
这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPK是递减的。
以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。
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7．令生产函数f（L，K）＝α0＋α1（LK）1/2＋α2K＋α3L，其中0≤αi≤1，i＝0，1，2，3。
（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？ （2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。 解：（1）∵f（L，K）＝α0＋α1（LK）1/2＋α2K＋α3L
则f(?L,?K)??0??1(?LK)??2(?K)??3(?L)
??0??1?(LK)??2?K??3?L ??[?0??1(LK)??2K??3L]?(1??)?0
1212212??f(L,K)?(1??)?0
如果该生产函数表现出规模报酬不变，则f(L,K)??f(L,K),这就意味着对于任何常数?＞0都必有(1??)?0?0，解得?0?0。
可见，当?0?0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
（2）在规模报酬不变的情况下，生产函数为f(L,K)??1(LK)??2K??3L，这时有：
MPL?df(L,K)1?K???1????3 dL2?L?df(L,K)1?L???1????2 dK2?K?121212MPK?1dMPL1?3??L2K2＜0 dL413dMPK12?2??LK＜0 dK4这表明在规模报酬不变的情况下，该函数相应的边际产量是递减的。
8．已知某企业的生产函数为Ｑ＝L2/3K1/3，劳动的价格w＝2，资本的价格r＝1。求：
（1）当成本C＝3 000时，企业实现最大产量时的L、K和Ｑ的均衡值。 （2）当产量Ｑ＝800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。 解：（1）根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：
其中
w＝2，r＝1
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于是有：
即：K＝L 再将K＝L代入约束条件2×L＋1×K＝3 000，有：
2L＋L＝3 000 解得：L*＝1 000 且有：K*＝1 000
将L*＝K*＝1 000代入生产函数，求得最大的产量： Ｑ*＝（L*）2/3（K*）1/3＝1 0002/3 + 1/3＝1 000
以上结果表明，在成本为C＝3 000时，厂商以L*＝1 000，K*＝1 000进行生产所达到的最大产量为Ｑ*＝1 000
此外，本题也可以用以下拉格朗日函数法来求解。
整理得：
将拉格朗日函数分别对L、K和λ求偏导，得极值的一阶条件：
① ② ③
由①式、②式可得：
，即K＝L
将K＝L代入约束条件即③式，可得：
3 000－2L－L＝0 解得L*＝1 000 且有K*＝1 000
再将L*＝K*＝1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量：
Ｑ*＝（L*）2/3（K*）1/3＝1 0002/3 + 1/3＝1 000 在此略去关于极大值得二阶条件的讨论。
（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：
其中
w＝2，r＝1
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高鸿业微观经济学课后习题答案(绝对详细啊)
