江苏省无锡市2024届高三第一次模拟考试
数 学
注意事项：
1.本试卷共160分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.设集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－2 2.设复数z满足(1＋i)z＝1－3i(其中i是虚数单位)，则z的实部为________． 3.有A，B，C三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出9名志愿者，那么n＝________． 4.史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________． 5.执行如图所示的伪代码，则输出x的值为________． ?x－y＋1≥0， ? 6.已知x，y满足约束条件?2x－y≤0，则z＝x＋y的取值范围是________． ??x≥0， →→→ 7.在四边形ABCD中，已知AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是________． x2y2 8.以双曲线－＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________． 54 9.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________． 10.设公差不为零的等差数列{an}满足a3＝7，且a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，则a10＝________． πθ＋?sin??4?4 11.已知θ是第四象限角，则cosθ＝，那么的值为________． 5cos（2θ－6π） 12.已知直线y＝a(x＋2)(a>0)与函数y＝|cosx|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， 1 y3)，D(x4，y4)，其中x1 tanx4 13.已知点P在圆M：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，A，B为圆C：x2＋(y－4)2＝4上两动点，且 →→ AB＝23，则PA·PB的最小值是________． 111 14.在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则＋＋的最小值为 tanAtanBtanC ________． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m＝(a，sinC－sinB)，n＝(b＋c，sinA＋sinB)，且m∥n. (1) 求角C的大小； (2) 若c＝3，求△ABC周长的取值范围． 16.(本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，锐角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB，AB⊥AD，AB⊥BC. (1) 求证：BC∥平面PAD； (2) 求证：平面PAD⊥平面ABCD. (第16题) 17.(本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2024年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2024年初开始，若该村抽出5x户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从 x 事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平 20 1 3－x?万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728) 均为??4? (1) 至2024年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？ (2) 至2024年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由． x2y23 18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为， ab2 1 3，?，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点且过点?2?? D. (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 求△PCD面积的最大值． (第18题) a 19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ex－x2－ax(a>0)． 2 (1) 当a＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立； x1＋x2 (2) 若y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证： 2 20.(本小题满分16分)设等比数列{an}的公比为q(q>0，q≠1)，前n项和为Sn，且2a1a3＝a4，数列{bn}的前n项和Tn满足2Tn＝n(bn－1)，n∈N*，b2＝1. (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； 1?? (2) 是否存在常数t，使得?Sn＋2t?为等比数列？请说明理由； ?? 1 (3) 设cn＝，对于任意给定的正整数k(k≥2)，是否存在正整数l，m(k bn＋4 cm成等差数列？若存在，求出l，m(用k表示)；若不存在，请说明理由. 江苏省无锡市2024届高三第一次模拟考试 数学附加题 注意事项： 1.附加题供选修物理的考生使用． 2.本试卷共40分，考试时间30分钟． 3.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21.(本小题满分10分)选修4-2：矩阵与变换 ?0－1??a b?·?3 4?，求ad－bc的值． 设旋转变换矩阵A＝??，若??A＝?? ?1 2??c d??1 0? 22.(本小题满分10分)选修4-4: 坐标系与参数方程 自极点O作射线与直线ρcosθ＝3相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12，若Q为 2 x＝－1＋t， 2 曲线(t为参数)上一点，求PQ的最小值． 2 y＝2＋t 2 23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点M(x，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M到直线x＝－1的距离等于1. (1) 求曲线C的方程； (2) 若直线y＝k(x＋2)与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补． 2－an－121 24.(本小题满分10分)已知数列{an}满足a1＝，＝(n≥2)． 3an－1an－1－1 (1) 求数列{an}的通项公式； 1 (2)设数列{an}的前n项和为Sn，用数学归纳法证明：Sn 2 ??? 江苏省无锡市2024届高三第一次模拟考试 数学参考答案及评分标准 1 1.{x|0 3 6.[0，3] 7.梯形 8.y2＝12x 9.3π 10.21 521311. 12.－2 13.19－122 14. 142 15.(1) 由m∥n及m＝(a，sinC－sinB)，n＝(b＋c，sinA＋sinB)， 得a(sinA＋sinB)－(b＋c)(sinC－sinB)＝0，(2分) abcb ＋?－(b＋c)?－?＝0， 由正弦定理，得a??2R2R??2R2R?所以a2＋ab－(c2－b2)＝0，得c2＝a2＋b2＋ab， 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC， 所以a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC， 所以ab＝－2abcosC，(5分) 1 因为ab>0，所以cosC＝－， 22π 又因为C∈(0，π)，所以C＝.(7分) 3 (2) 在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC， 2π 所以a2＋b2－2abcos＝9，即(a＋b)2－ab＝9，(9分) 3 3（a＋b）2a＋b?22?所以ab＝(a＋b)－9≤≤9， 4?2?，所以 即(a＋b)2≤12，所以a＋b≤23，(12分) 又因为a＋b>c，所以6 16.(1) 因为AB⊥AD，AB⊥BC，且A，B，C，D共面， 所以AD∥BC.(3分) (第16题) 因为BC?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BC∥平面PAD.(5分) (2) 如图，过点D作DH⊥PA于点H， 因为△PAD是锐角三角形，所以H与A不重合．(7分) 因为平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，DH?平面PAD， 所以DH⊥平面PAD.(9分) 因为AB?平面PAB，所以DH⊥AB.(11分) 因为AB⊥AD，AD∩DH＝D，AD，DH?平面PAD， 所以AB⊥平面PAD. 因为AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(14分) x?3 ?17.(1) 由题意得1×?1＋20?≥1.6，
江苏省无锡市2024届高三第一次模拟考试数学试卷(有答案)
