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人教版高中数学必修二
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
《解析几何初步》全章复习与巩固
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；
3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；
5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程； 6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一：直线方程的几种形式
（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．
（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．
（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①y?y0?k(x?x0)；
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②y?kx?b；
③Ax?By?C?0(A?B?0)；
④(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(λ为参数)．
要点二：两条直线的位置关系
1．特殊情况下的两直线平行与垂直．
(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；
(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为90），另一条直线的倾斜角为0时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：
（1）已知直线l1:y?k1x?b1和l2:y?k2x?b2，则l1//l2?k1=k2且b1?b2
（2）已知直线l1：A1x?B1y?C1?0和l2：A2x?B2y?C2?0(A1B1C1?0,A2B2C2?0)，则
00022l1∥l2?A1B1C1?? ． A2B2C2要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．
3．斜率都存在时两直线的垂直：
（1）已知直线l1:y?k1x?b1和l2:y?k2x?b2，则 l1?l2?k1k2??1； （2）已知直线l1：A1x?B1y?C1?0和l2：A2x?B2y?C2?0，则
l1?l2?A1A2?B1B2?0．
要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：
点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离为：d?2．两平行线间的距离公式
已知两条平行直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0，l2：Ax?By?C2?0，则l1与
Ax0?By0?CA?B22
l2的距离为d?C1?C2A?B22．
要点诠释：一般在其中一条直线l1上随意地取一点M，再求出点M到另一条直线l2的距离即可 要点四：对称问题
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1．点关于点成中心对称
点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．
设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P?(2a?x0,2b?y0)．
2．点关于直线成轴对称
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：
y??y0??k??1??x?x?0设点P(x0,y0)关于直线y?kx?b的对称点为P?(x?,y?)，则有?，求出x?、
?y??y0?k?x0?x??b??22y?．
特殊地，点P(x0,y0)关于直线x?a的对称点为P?(2a?x0,y0)；点P(x0,y0)关于直线y?b的对称点为P?(x0,2b?y0)．
3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)； （2）点(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)； （3）点(x,y)关于原点的对称点为(?x,?y)； （4）点(x,y)关于直线x?y?0的对称点为(y,x)； （5）点(x,y)关于直线x?y?0的对称点为(?y,?x)．
要点五：圆的方程
求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．
1．圆的标准方程
(x?a)2?(y?b)2?r2，其中?a，b?为圆心，r为半径.
要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时a?0，b?0，圆的方程就是x?y?r.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：|a|?r；圆与x轴相切时：|b|?r；与坐标轴相切时：|a|?|b|?r；过原点：a?b?r.
(2)圆的标准方程(x?a)?(y?b)?r?圆心为?a，b?，半径为r，它显现了圆的几何特点.
222222222资料来源于网络 仅供免费交流使用
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(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
2．圆的一般方程
22当D?E?4F?0时，方程x?y?Dx?Ey?F?0叫做圆的一般方程.??22?DE?,??为圆心，22??1D2?E2?4F为半径. 2D??E?D2?E2?4F?22要点诠释：由方程x?y?Dx?Ey?F?0得?x????y???
224????(1)当D?E?4F?0时，方程只有实数解x??222222DEDE,y??.它表示一个点(?,?). 2222(2)当D?E?4F?0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当D?E?4F?0时，可以看出方程表示以??的圆.
要点六：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为(x?a)?(y?b)?r，圆心为C?a，b?，半径为r，则有
222221?DE?,??为圆心，D2?E2?4F为半径2?2?2(1)若点M?x0，y0?在圆上?|CM|?r??x0?a???y0?b??r
222(2)若点M?x0，y0?在圆外?|CM|?r??x0?a???y0?b??r
222(3)若点M?x0，y0?在圆内?|CM|?r??x0?a???y0?b??r
222要点七：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：
判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l与圆C有公共点； 有两组实数解时，直线l与圆C相交； 有一组实数解时，直线l与圆C相切； 无实数解时，直线l与圆C相离. (2)几何法：
a)?(y?b)?r(r?0)设直线l:Ax?By?C?0(A?B?0)，圆C:(x?22222，圆心C(a,b)到直
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线l的距离记为d?|Aa?Bb?C|A?B22，则:
当d?r时，直线l与圆C相交； 当d?r时，直线l与圆C相切； 当d?r时，直线l与圆C相离. 要点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：
圆C1:(x?a1)?(y?b1)?r1222与圆C2:(?x22a)?(y?22两圆圆心距b)?，2rd?(a2?a1)2?(b2?b1)2，则：
当r1?r2?d?r1?r2时，两圆相交； 当r1?r2?d时，两圆外切； 当r1?r2?d时，两圆外离； 当r1?r2?d时，两圆内切； 当r1?r2?d时，两圆内含.
要点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.
要点九：求圆的切线方程的常用方法：
(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；
(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出
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