中考数学压轴题精选解析
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中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形
基本题型：已知AB，抛物线y?ax2?bx?c?a?0?，点P在抛物线上（或坐标轴上，或
抛物线的对称轴上），若?ABP为等腰三角形，求点P坐标。
分两大类进行讨论： （1）AB为底时（即PA?PB）：点P在AB的垂直平分线上。
利用中点公式求出AB的中点M；
利用两点的斜率公式求出kAB，因为两直线垂直斜率乘积为?1，进而求出AB的垂直平分线的斜率k；
利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；
将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。
（2）AB为腰时，分两类讨论：
①以?A为顶角时（即AP?AB）：点P在以A为圆心以②以?B为顶角时（即BP?BA）：点P在以B为圆心以
AB为半径的圆上。 AB为半径的圆上。
利用圆的一般方程列出eA(或eB)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。
中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形
基本题型：已知AB，抛物线y?ax2?bx?c?a?0?，点P在抛物线上（或坐标轴上，或
抛物线的对称轴上），若?ABP为直角三角形，求点P坐标。
分两大类进行讨论：
（1）AB为斜边时（即PA?PB）：点P在以AB为直径的圆周上。
利用中点公式求出AB的中点M；
利用圆的一般方程列出eM的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。
（2）AB为直角边时，分两类讨论： ①以?A为直角时（即AP?AB）： ②以?B为直角时（即BP?BA）：
利用两点的斜率公式求出kAB，因为两直线垂直斜率乘积为?1，进而求出PA（或PB）的斜率
k；进而求出PA（或PB）的解析式；
将PA（或PB）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。
所需知识点：
一、 两点之间距离公式：
已知两点P?x1,y1?,Q?x2,y2?， 则由勾股定理可得：PQ??x1?x2?2??y1?y2?2。
二、 圆的方程：
点P?x,y?在⊙M上，⊙M中的圆心M为?a,b?，半径为R。 则PM??x?a?2??y?b?2?R，得到方程☆：?x?a???y?b??R2。
22∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。 三、
中点公式：
?x1?x2y1?y2?,?。
2??2四、 已知两点P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则线段PQ的中点M为?五、 任意两点的斜率公式：
已知两点P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则直线PQ的斜率： kPQ?y1?y2。 x1?x2中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形
基本题型：一、已知AB，抛物线y?ax2?bx?c?a?0?，点P在抛物线上（或坐标轴上，
或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为平行四边形，求点P坐标。
分两大类进行讨论：
（1）AB为边时 （2）AB为对角线时
二、已知AB，抛物线y?ax?bx?c?a?0?，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对
2称轴上），若四边形ABPQ为距形，求点P坐标。
在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等
三、已知AB，抛物线y?ax?bx?c?a?0?，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对
2称轴上），若四边形ABPQ为菱形，求点P坐标。
在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直
四、已知AB，抛物线y?ax?bx?c?a?0?，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对
2称轴上），若四边形ABPQ为正方形，求点P坐标。
在四边形ABPQ为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直
在四边形ABPQ为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等
五、已知AB，抛物线y?ax?bx?c?a?0?，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对
2称轴上），若四边形ABPQ为梯形，求点P坐标。
分三大类进行讨论：
（1）AB为底时 （2）AB为腰时 （3）AB为对角线时
典型例题：典型例题：
例一（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝
21． 3（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
yyAEAOBxOBxD，B两点，与（2009年烟台市）如图，抛物线y?ax?bx?3与x轴交于Ay轴交于C点，且经过点D图 9CC2G图 10(2，?3a)，对称轴是直线x?1，顶点是M．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点
P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由；
（3） 设直线y??x?3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经
，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由； 过A（4） 当E是直线y??x?3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． y A O 1 B x ?3 C （2009?临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点． （第26题图） （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
M 思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为
y?a(x?1)(x?4)，代入点C的 坐标（0，－2），解得a??1．所以抛物线的解析式为2115y??(x?1)(x?4)??x2?x?2．
2221（2）设点P的坐标为(x,?(x?1)(x?4))．
2①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM??1(x?1)(x?4)，AM?4?x． 21?(x?1)(x?4)AMAO??2，那么2?2．解得x?5不合题意． 如果
PMCO4?x1?(x?1)(x?4)AMAO11如果??，那么2?．解得x?2．
PMCO24?x2此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，PM?1(x?1)(x?4)，AM?x?4． 21(x?1)(x?4)2解方程?2，得x?5．此时点P的坐标为(5,?2)．
x?41(x?1)(x?4)1解方程2?，得x?2不合题意．
x?421③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，PM?(x?1)(x?4)，AM?4?x．
21(x?1)(x?4)解方程2?2，得x??3．此时点P的坐标为(?3,?14)．
4?x1(x?1)(x?4)12解方程?，得x?0．此时点P与点O重合，不合题意．
4?x2综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或(?3,?14)或(5,?2)．
图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为y?设点D的横坐标为m(1?m?4)，那么点D的坐标为(m,?1x?2． 2125m?m?2)，点E的坐标为2211151(m,m?2)．所以DE?(?m2?m?2)?(m?2)??m2?2m．
2222211222因此S?DAC?(?m?2m)?4??m?4m??(m?2)?4．
22
当m?2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5 图6
如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
3①当线段PQ?AB时，求tan∠CED的值；
4②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．
2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．
3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．
满分解答（1）设抛物线的函数表达式为y?(x?1)2?n，代入点C(0，－3)，得n??4．所以抛物线
的函数表达式为y?(x?1)2?4?x2?2x?3．
（2）由y?x2?2x?3?(x?1)(x?3)，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为y?kx?b，
?3k?b?0, 解得代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得?所以直线BC的函数表达式为y?x?3． k?1，b??3．
?b??3.13因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为?．于AB?3．
247517?，点F的坐标为?7?．所以是得到点P的坐标为?FC?OC?OF?3??，?,?0,?????444??24??（3）①因为AB＝4，所以PQ?EC?2FC?5． 2
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