江苏省南京市2024-2024学年高考一诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f?x??ax?1?2x?ax?1（a?R）的最小值为0，则a?（ ）
2A．
1 2B．?1 C．??
D．?1 2【答案】C 【解析】 【分析】 设????g?x??h?x??ax?1?2g?x?,g?x??h?x?fx???，计算可得，再结合图像即可求出答案. ?2gx?hx?2x?ax?12hx,gx?hx??????????????【详解】
2???g?x??h?x??ax?1?g?x??x?ax设?，则?， 22gx?hx?2x?ax?1hx?1?x??????????则f?x??g?x??h?x??g?x??h?x????2g?x?,g?x??h?x??，
2hx,gx?hx????????由于函数f?x?的最小值为0，作出函数g?x?,h?x?的大致图像，
结合图像，1?x2?0，得x??1， 所以a??1. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.
2．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
?C．?8A．85?42?4π
?5?42?16π
??D．?8B．85?82?4π
?5?82?16π
?【答案】C 【解析】 【分析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积. 【详解】
最上面圆锥的母线长为22，底面周长为2π?2?4π，侧面积为线长为25，底面周长为2π?4?8π，侧面积为
1?22?4π?42π，下面圆锥的母21?25?8π?85π，没被挡住的部分面积为2π?42?π?22?12π，中间圆柱的侧面积为2π?2?1?4π.故表面积为85?42?16?，故选C.
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题. 3．港珠澳大桥于2024年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（ ）
??
A．300，0.25 【答案】B 【解析】 【分析】
B．300，0.35
C．60，0.25
D．60，0.35
90?的频率即可得到车辆数，同时利用频率分由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间[85，布直方图能求行驶速度超过90km/h的频率． 【详解】
由频率分布直方图得：
90?的频率为0.06?5?0.3， 在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90?的车辆数为：0.3?1000?300， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间[85，行驶速度超过90km/h的频率为：?0.05?0.02??5?0.35． 故选：B． 【点睛】
本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y?2px?p?0?上任意一点，M是线段PF上的点，
2且PM?2MF,则直线OM的斜率的最大值为( )
A．3 3B．
2 3C．2 2D．1
【答案】C 【解析】
y02p（,y0)，由题意F(,0)，显然y0?0时不符合题意，故y0?0，则 试题分析：设P2p2uuuuruuuruuuuruuur1uuuruuur1uuuruuurr2uuury02py01uuuOM?OF?FM?OF?FP?OF?(OP?OF)?OP?OF?(?,)，可得：
33336p33y03kOM?y02p?6p3?2y02p?py0?222?2，当且仅当y02?2p2,y0?2p时取等号，故选C． 2考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．
【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件PM?2MF，利用向量的运算可知
y02py0M(?,)，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问
6p33题．
5．下列选项中，说法正确的是（ ）
22A．“?x0?R，x0?x0?0”的否定是“?x0?R，x0?x?0”
B．若向量a，b满足a?b?0 ，则a与b的夹角为钝角 C．若am2?bm2，则a?b
D．“x??AUB?”是“x??AIB?”的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】
对于A根据命题的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判断出；对于B若向量a，b满足a?b?0，则a与b的夹角为钝角或平角；对于C当m=0时，满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断． 【详解】
选项A根据命题的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正确； 选项B若向量a，b满足a?b?0，则a与b的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C当m=0时,满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正确；
选项D若“x??AIB?”，则x?A且x?B，所以一定可以推出“x??AUB?”，因此“x??AUB?”是“x??AIB?”的必要条件，故正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.
6．已知函数f?x??x?a?2，g?x??lnx?4a?2，若存在实数x0，使f?x0??g?x0??5成立，则
x?xrrrrrrrrrrrrrrrrrr正数a的取值范围为（ ）
，A．?01?
【答案】A 【解析】 【分析】
4? B．?0，，??? C．?1D．?0,ln2 ?根据实数x0满足的等量关系，代入后将方程变形a?2x0?4a?2?x0?lnx0?5?x0，构造函数
h?x??lnx?5?x，并由导函数求得h?x?的最大值；由基本不等式可求得a?2x0?4a?2?x0的最小值，结
合存在性问题的求法，即可求得正数a的取值范围.
【详解】
函数f?x??x?a?2，gx?x??lnx?4a?2?x，
由题意得即a?2令hx0f?x0??g?x0??x0?a?2x0?lnx0?4a?2?x0?5，
?4a?2?x0?lnx0?5?x0，
?x??lnx?5?x，
11?x?1?， xx∴h??x??，???上单调递减， ∴h?x?在?01?上单调递增，在?1，∴h?x?max?h?1??4，而a?2x0?4a?2?x0?2a2x0?4?2?x0?4a，
当且仅当2x0?4?2?x0，即当x0?1时，等号成立， ∴4a?4， ∴0?a?1. 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
7．若函数f?x??2sin?x?2???cosx（0???A．函数y?f?x?的值域是?0,2?
?2）的图象过点?0,2?，则（ ）
B．点????,0?是y?f?x?的一个对称中心 4??C．函数y?f?x?的最小正周期是2? 【答案】A 【解析】 【分析】
D．直线x?
?4
是y?f?x?的一条对称轴
根据函数f?x?的图像过点?0,2?，求出?，可得f?x??cos2x?1，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论. 【详解】
由函数f?x??2sin?x?2???cosx（0???可得2sin2??2，即sin2??1，
?2）的图象过点?0,2?，
?2???2，???4，
江苏省南京市2024-2024学年高考一诊数学试题含解析
