高中数学参考
热身练习（一）（两个小时）
1、一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）
A．2??3?
8B．?
3
23? 32 2 C． 4??2 2 正（主）视图
2 2 侧（左）视图
俯视图
3D．2???
32．已知函数f(x)?2sin(?x?)?cos(?x?)(??0)的最小正周期为?，则?的值为（ ）
3611A． 4 B．2 C． D．
243．已知函数f(x)?ax?b(x?[0,1])，则“a?2b?0”是“f(x)?0恒成立”的（ ） A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
??4．若函数y?f(x)图像上的任意一点P的坐标(x,y)满足条件|x| ? |y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是 （ ）
A．f(x)?ex?1 B．f(x)?ln(x?1) C．f(x)?sinx D．f(x)?tanx
5.在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图1那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为3的概率为( )
A．
1111 B． C． D．
3264
6．已知函数f(x)?Acos(?x?是 .
?4??)(A?0)在(0,)上是减函数，则?的最大值
87． 三棱锥S?ABC中，?SAB??SAC??ACB?90?，AC?2,BC?13,SB?29. 则直线SC与AB所成角的余弦值为_____________.
2 高中数学参考
x2y28．椭圆2?2?1(a?b?0)的四个顶点为A、B、C、D，若菱形ABCD的内切圆半径
ab等于椭圆焦距的
6，则椭圆的离心率为 ______． 69．设a,b为两个非零向量，且a?2,a?2b?2，则a?b?b的最大值是 _____ ． 10．对于数列{an}，如果存在一个数列{bn}，使得对于任意的n?N?，都有an?bn，则把
{bn}叫做{an}的“弱数列”.设an?n3?n2?2tn?t2，bn?n3?2n2?n?是{an}的“弱数列”，则实数t的取值范围是 ． 11．圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动。经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为_______________．
5，(n?N?), 且{bn} 4DDCA(P)ABC12．已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a?an?2Sn?0， cn?anbn，（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若b1?1的前n项和Tn； ， 2bn?bn?1?0(n?2,n?N*)， 求：数列?cn?（3）是否存在整数m、M，使得m?Tn?M对任意正整数n恒成立，且M?m?4？说明理由.
2n 高中数学参考 13．已知a,b,c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边，bcosC?3bsinC?a?c?0. （1）求证A,B,C成等差数列；（2）若b?3，求2a
c的最大值.
14． （1）已知0?x?1，求证：x?3?2x4?2x； 8（2）已知x,y,z?0且x?y?z?1,
求f(x,y,z)?2x4?y2?z的最大值和最小值.
15．求方程x3?y3?x2y2?(x?y)2z?0的所有非负整数解.
4 高中数学参考
热身练习（二）（两个小时）
一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．设方程x2?2mx?m2?1?0的根大于?2，且小于4，则实数m的范围是 ．
2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．
3．设实数x，y满足x?4x?y?3?0，则x?y的最大值与最小值之差是 ．
222b满足(a?bi)?(a?bi)（i是虚数单位，4．若存在正实数a，，则n的最小值是 ． n?N*）
5．若三角形ABC的三边AB，BC，AC成等差数列，则?A的取值范围是 ．
6．若数列?an?满足a4?9，(an?1?an?1)(an?1?3an)?0（n?N*），则满足条件的a1的所有可能值之积是 ．
7．已知f(x)?x?94x?2013，则
2nnn?30??f(n)?60f(n)?? ．
8．设x，y??0,2??，且满足2sinxcosy?sinx?cosy??1，则x?y的最大值为 ． 29．已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是面ABC上的一个动点，满足P到面DAB、DBC、DCA的距离成等差数列，则P到面DCA距离的最大值是 ．
10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过
31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．
二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．
(x?k)2x2211．设k为实数，0?k?6，椭圆E1:?y?1与椭圆E2:?y2?1交于点A和C，E1的
99左顶点为B，E2的右顶点为D（如图），若四边形ABCD是正方形，求实数k．
高中数学参考
12．如图，梯形ABCD中，B、D关于对角线AC对称的点分别是B'、D'，A、C关于对角线BD对称的点分别是A'、C'．证明：四边形A'B'C'D'是梯形．
13．设实数a，b满足0?a?1?b?1．证明：2(b?a)?cos?a?cos?b． 2 14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．
6
2000-2015高中数学竞赛试题 含答案
