习题6
6.1选择题
(1)一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：
(A)它的动能转化为势能. (B)它的势能转化为动能.
(C)它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大.
(D)它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小.
[答案：D]
(2) 某时刻驻波波形曲线如图所示，则a,b两点位相差是
(A)π (B)π/2 (C)5π/4 (D)0
[答案：A]
(3) 设声波在媒质中的传播速度为ｕ，声源的频率为vs．若声源Ｓ不动，而接收器Ｒ相对于媒质以速度VB 沿着Ｓ、Ｒ连线向着声源Ｓ运动，则位于Ｓ、Ｒ连线中点的质点Ｐ的振动频率为 (A)vs (B)
u?VBvs u(C)
uuvs (D) vs
u?VBu?VB[答案：A]
6.2填空题
(1)频率为100Hz，传播速度为300m/s的平面简谐波，波线上两点振动的相位差为π/3，则此两点相距____m。
[答案：0.5m]
t?0.4x)(SI)，(2)一横波的波动方程是y?0.02sin2?(100则振幅是____，波
长是____，频率是____，波的传播速度是____。
[答案：0.02m;2.5m;100Hz;250m/s]
(3) 设入射波的表达式为y1?Acos[2?(?t?x?)??]，波在x＝0处反射，反
射点为一固定端，则反射波的表达式为________________，驻波的表达式为____________________，入射波和反射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为____________________。
[答案：y2?Acos2?(?t?x?) ；
2Acos(2??)cos(2??t?) ?22x?? x?(2k?1)?4]
6.3产生机械波的条件是什么？两列波叠加产生干涉现象必须满足什么条件？满足什么条件的两列波才能叠加后形成驻波？在什么情况下会出现半波损失？
答：产生机械波必须具备两个条件：有作机械振动的物体即波源；有连续的介质。 两列波叠加产生干涉现象必须满足三个相干条件：频率相同，振动方向相同，在相遇点的位相差恒定。
两列波叠加后形成驻波的条件除频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差恒定三个相干条件外，还要求两列波振幅相同，在同一直线上沿相反方向传播。 出现半波损失的条件是：波从波疏媒质入射并被波密媒质反射，对于机械波，还必须是正入射。
6.4波长、波速、周期和频率这四个物理量中，哪些量由传播介质决定？哪些量由波源决定？
答：波速由传播介质决定；周期和频率由波源决定。
6.5波速和介质质元的振动速度相同吗？它们各表示什么意思？波的能量是以什么速度传播的？
答：波速和介质质元的振动速度不相同。波速是振动状态在介质中的传播速度，而质元的振动速度是质元在其平衡位置附近运动的速度。波的能量传播的速度即为波速。
6.6振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同？行波和驻波有何区别？ 答: (a)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为
y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的
平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即y?f(x,t)．
(b)在谐振动方程y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质
元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．
当谐波方程y?Acos?(t?)中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．
(c)振动曲线y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y?f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．
(d) 两列频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差恒定、振幅相同、在同一直线上沿相反方向的行波叠加后才会形成驻波。行波伴随有能量的传播，而驻波没有能量的传播。
6.7 波源向着观察者运动和观察者向着波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别？ 解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题6.7图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(u/??)会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即u??u?vB，因而单位时间内通过观察者完整波的数目
xuu??也会增多，即接
收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．
题6.7图 多普勒效应
6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，C 为正值恒量．求：
(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；
(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程
y?Acos(Bt?Cx) (x?0)
将上式与波动方程的标准形式
y?Acos(2??t?2?比较，可知： 波振幅为A，频率??波长??x?)
B， 2?2?B，波速u????， CC12?波动周期T??．
?B(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程
y?Acos(Bt?Cl)
(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 ???将x2?x1?d，及??2??(x2?x1)
2?代入上式，即得 C???Cd．
6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x,y以米计，
t以秒计．求：
(1)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (2)求x=0.2mt=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式
?相比，得振幅A?0.05m，圆频率??10?，波长??0.5m，波速
?u??????2.5m?s?1．
2?绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
y?Acos(?t?2?x)
vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1
amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2
(2)x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为
x0.2??0.08s u2.5故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相， 即 ??9.2π． 设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则
x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m
6.10 如题6.10图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动位相又是多少?
解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有
题6.10图
对于O点：∵yO?0,vO?0，∴?O??2
对于A点：∵yA??A,vA?0，∴?A?0 对于B点：∵yB?0,vB?0，∴?B???23?对于C点：∵yC?0,vC?0，∴?C??
2(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相)
(2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有
?????0,vO??0，∴?O对于O点：∵yO?2
??对于A点：∵y?A??A,vA?0，∴?A?0
? 23?????0,vC??0，∴?C对于C点：∵yC
2?对于B点：∵y?B?0,vB?0，∴?B? (此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相)
习题6
