圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第三章微分中值定理与导数的应用习题3-1微分中值定理1．验证罗尔定理对函数y＝lnsinx在区间证：函数f（x）＝lnsinx在上连续，在上的正确性．内可导，又即，使，所以f（x）在．又上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知至少存在一点，令得（n＝0，±1，±2，…）．取n＝0，得上是正确的．．因此罗尔定理对函数y＝lnsinx在区间2．验证拉格朗日中值定理对函数y＝4x3－5x2＋x－2在区间[0，1]上的正确性．证：函数在区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，所以f（x）在[0，1]上满足拉格朗日中值定理条件，从而至少存在一点ξ∈（0，1），使又由可知在区间[0，1]上是正确的．，因此拉格朗日中值定理对函数3．对函数f（x）＝sinx及F（x）＝x＋cosx在区间确性．1/64上验证柯西中值定理的正圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台在区间上连续，在内可导，且证：函数在内，，使，，所以f（x）、F（x）满足柯西中值定理条件，从而至少存在一点由即，可得．所以，．由题设，取n＝0，得柯西中值定理对，．因，所以在区间上是正确的．．因此，4．试证明对函数y＝px2＋qx＋r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间．证：任取数值a，b，不妨设a＜b，函数f（x）＝px2＋qx＋r在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，所以由拉格朗日中值定理知至少存在一点ξ∈（a，b），使即pb2＋qb＋r－pa2－qa－r＝（2pξ＋q）（b－a）．经整理得位于区间的正中间．，即所求得的ξ总是5．不用求出函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间．2/64圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台解：函数f（x）分别在[1，2]，[2，3]，[3，4]上连续，分别在（1，2），（2，3），（3，4）内可导，且，ξ3∈（3，4），使2∈（2，3）．由罗尔定理知至少存在ξ1∈（1，2），ξ即方程因此方程至少有三个实根，又方程为三次方程，所以它至多有三个实根，有且仅有三个实根，它们分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内．6．证明恒等式：证：取函数f（x）＝arcsinx＋arccosx，x∈[－1，1]．因所以f（x）≡C．取x＝0，得．因此7．若方程有一个正根x＝x0，证明方程必有一个小于x0的正根．证：取函数．f（x）在[0，x0]上连续，在（0，，x0）内可导，且f（0）＝f（x0）＝0，由罗尔定理知至少存在一点ξ∈（0，x0），使即方程必有一个小于x0的正根．8．若函数f（x）在（a，b）内具有二阶导数，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3），其中a＜x1＜x2＜x3＜b．证明：在（x1，x3）内至少有一点ξ，使得．证：根据题意知函数f（x）在[x1，x2]，[x2，x3]上连续，在（x1，x2），（x2，x3）内可3/64圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台，所以由罗尔定理知至少存在点ξ1∈（x1，x2），ξ2∈（x2，．导且x3），使又在[ξ1，ξ2]上连续，在（ξ1，ξ2）内可导，所以由罗尔定理知至少存在点ξ∈（ξ．1，ξ2）?（x1，x3）使9．设a＞b＞0，n＞1，证明：证：取函数f（x）＝xn，f（x）在[b，a]上连续，在（b，a）内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈（b，a），使10．设a＞b＞0，证明：证：取函数，f（x）在[b，a]上连续，在（b，a）内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈（b，a），使即．又0＜b＜ξ＜a，所以．因此4/64圣才电子书www.100xuexi.com十万种考研考证电子书、题库视频学习平台即11．证明下列不等式：（1）|arctana－arctanb|≤|a－b|；（2）当x＞1时，ex＞e·x．证：（1）当a＝b时，显然成立．当a≠b时，取函数f（x）＝arctanx，f（x）在[a，b]或[b，a]上连续，在（a，b）或（b，a）内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈（a，b）或（b，a），使即，所以（2）取函数，因为函数f（t）在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈（1，x），使即．又1＜ξ＜x，所以eξ＞e，因此即ex＞x·e．12．证明方程x5＋x－1＝0只有一个正根．证：取函数f（x）＝x5＋x－1，f（x）在[0，1]上连续，f（0）＝－1＜0，f（1）＝1＞0由零点定理知，至少存在点x1∈（0，1），使f（x1）＝0，即方程x5＋x－1＝0在（0，5/64
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(微分中值定理与导数的应用)【圣才出品】
