思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？ 【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足怎样的关系式?
解析：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。
2v0??① 据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有N1?m1g?m1Rv12??② 同理m2在最高点有m2g?N2?m2R m2球由最高点到最低点机械能守恒m2g2R?112m2v12?m2v0?③又N1=N2……④ 22
【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会
变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。
【例5】如图所示，赛车在水平赛道上作900转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r1和r2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？ 分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为vm。转弯时，车做圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到vm。车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定．
对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为v2，则应有mv2/r2=μmg解得v2=?r2g 如图所示，设车自M点开始减速，至N点其速度减为v2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg
222vm?v2vmr此减速过程中行驶的路径长度（即MN的长度）为x2==－2
2a2?g22
车沿弯道到达A点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为x2的路程上
加速，才能达到速度vm。上述过程所用的总时间为
t2=t减速＋t圆弧＋t加速=
2v?rrvm?v2v?v?＋2＋m2=m－（2－）2 2v2?g?g2aa2vmr?－（2－）1 ?g?g2同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为t1=
另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多走了长度 ΔL＝ r2－ rl
同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度 Δx=2x1－2x2= r2－ rl
由于上述的ΔL和Δx刚好相等，可见车在直道上以vm匀速行驶的路程长度对于内外两道来说是相等的．这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的t1和t2即可由于 t2＜t1，显然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为
?r?r1 Δt=t1一t2=(2?)2 2?g2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围 【例6】如图，直杆上0102两点间距为L，细线O1A长为3L，
O2A长为L,A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？
解析:当ω较小时线O1A拉直，O2A松弛，而当ω太大时O2A拉直, O1A将松弛．
设O2A刚好拉直,但FO2A仍为零时角速度为ω1，此时∠O2O1A 0
=30,对小球：
0
在竖直方向FO1A〃cos30＝mg……①
在水平方向：FO1A〃sin30＝m?由①②得??2g3L 1O a B A ω L 0
213L?sin30……②
0设O1A由拉紧转到刚被拉直,FO1A变为零时角速度为ω2
0
对小球：FO2A〃cos60=mg……③
020
FO2A〃sin60=mω2L〃sin60………④ 由③④得??2gL,故2g3L???2gL
2【例7】一根长约为L的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动，杆最初在水平位置。杆上距O为a处放有一个小物体B（可视为质点）。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度ω绕O轴转动，问当ω取什么值时，小物体与杆可能相碰。
【解析】杆开始转动后，两物体的运动状态分别为：A做匀速转动，
B做自由落体运动。若B能与杆相碰，只可能在B下落的竖直线上，那么，杆转动的高度范围就被确定了，即如图所示的转角范围。 我们分两种情况进行讨论：
（1）当杆的转速ω较小时，物体B有可能追上细杆与细杆相碰。设物体B下落到C作用的时间为t1，杆转过Φ角所用时间为t2，两物要能相碰，t1和t2就满足下列条件：t1≤t2…① 又因为LBC＝?gt1，Φ=ωt2，由几何关系LBC=L2?a2，LcosΦ=a，所以LBC＝?
2
2L2?a2gt1=L?a解得t1=
g2
22由Φ=ωt2=arccosα/L解得t2=
1?arccos（a/L）
garccos（a/L）/4L2?a2 212L2?a2将tl、t2代入①式，得arccos（a/L）解得ω≤ ≤
?g（2）当杆的转速ω较大时，杆转过一周后有可能追上B而与物体B相碰，设杆转过中角所
///
用的时间为t2，杆要与B相碰，t2和tl必须满足下列条件：tl≥t2
2L2?a2由2π+Φ=ωt2，所以t2=（2π+Φ）=（2π+arccos（a/L））/ω代入得≥（2
g/
/
π+arccos（a/L））/ω，解得ω≥
garccos（a/L）/4L2?a2 2garccos（a/L）/4L2?a2或ω≥2由以上分析可知，当杆转动的角速度满足：ω≤
garccos（a/L）/4L2?a2时，物体B均有可能和细杆相碰。 2试题展示
1．如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O。现
给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表
示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ D ） A．一定是拉力 B．一定是推力 C．一定等于0
D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
2.如图所示，在场强大小为E的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细线一端拴一个质量为m电荷量为q的带负电小球，另一端固定在O点。
把小球拉到使细线水平的位置A，然后将小球由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水平成θ=60°的位置B时速度为零。以下说法正确的是 BC A．小球重力与电场力的关系是mg=3Eq B．小球重力与电场力的关系是Eq=3mg C．球在B点时，细线拉力为T=3mg D．球在B点时，细线拉力为T=2Eq
3.如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是：A A. VA > VB B. ωA > ωB C. aA > aB
A B D.压力NA > NB
4.如图所示，一质量为M的赛车，在某次比赛中要通过一段凹凸起伏的圆弧形路面，若圆弧半径都是R，汽车在到达最高点（含最高点）之前的速率恒为v?
gR，则下列说法正确的是（ ）ABCD
A．在凸起的圆弧路面的顶部，汽车对路面的压力为零 B．在凹下的圆弧路面的底部，汽车对路面的压力为2Mg C．在经过凸起的圆弧路面的顶部后，汽车将做平抛运动 D．在凹下的圆弧路面的底部，汽车的向心力为Mg
5.如图所示，质量相等的A、B两物块放在匀速转动的水平圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的是A A．它们所受的摩擦力 fA?fB B．它们的线速度VA ?A??B ’ ’ 6.如图所示，A到OO的距离为R，B到OO的距离为2R，A、B用轻绳连接可沿CD杆滑 动，已知mA=mB=m，杆CD对物体A、B的最大静摩擦力均为Fm，要保持A、B相对静止，求装置绕OO′轴转动的最大角速度. 【解析】A、B分别绕同一点(OO’与AB的交点)做匀速圆周运动，由 于做匀速圆周运动的半径不一样，所需的向心力不一样，当物体A、B将要滑动时，A、B两物体受的摩擦力都要达到最大静摩擦力，在此临界状态，物体仍在做匀速圆周运动.整个装置绕OO’轴转动时，B拉着A将要向右滑动时，角速度最大，此时，A、B除受竖直方向的重力和支持力外，水平方向均受到向左的最大 2 静摩擦力Fm，设绳的拉力为F，则对A：F-Fm=mωR ① 2 对B：F+Fm=mω2R ② 2 ②式一①式得2Fm=mωR 则装置转动的最大角速度为：ω= 2FmmR . 7.绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长L=60cm，求： ?在最高点水不流出的最小速率? ?水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力? 【解析】(1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力.即： mg≤mv02/R 则所求最小速v0=Rg=0.6?9.8=2.42m/s. ?当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有 FN+mg=mv2/R，FN=mv2/R-mg=2.6N由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力FN’=FN=2.6N，方向竖直向上 8.如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动. 解析：A随盘转动时，A受到的摩擦力、绳子的拉力的合力提供向心力，所以 转速较大时有?mg?mg?mr?2 ∴???g?g r转速较小时有mg??mg?mr?2∴??g??g r综上所述g??g????g?g rr9.如图所示，将一根光滑的细金属棒折成V形，顶角为2?，其对称轴竖直，在其中一边套上一个质量为m的小金属环P， （1）若固定V形细金属棒，小金属环P从距离顶点O为 x的A点处由静止自由滑下，则小金属环由静止下滑至顶点O点时需多少时间？ （2）若小金属环P随V形细金属棒绕其对称轴以每秒n转匀速转动时，则小金属环离对称轴的距离为多少？ 解：（1）设小环沿棒运动的加速度为a，由牛顿第二定律得 mgcos??ma ① （2分） 由运动学公式得 x?12at ② （2分） 2由①②式得小环运动的时间t?2x ③ （1分） gcos? （2）设小环离对称轴的距离为r，由牛顿第二定律得 mgco?t?mr? ④ （2分） ??2?n ⑤ （2分） 由④⑤式得r? 2gcot? ⑥ （1分） 4?2n2
曲线运动 知识点 例题详解
