由相似形可知vt∶v0=7∶3，因此很容易可以得出结论：E=14J。 3、平抛运动的拓展（类平抛运动）
【例7】如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度．
解析：物块在垂直于斜面方向没有运动，物块沿斜面方向上的曲线运动可分解为水平方向上初速度v0的匀速直线运动和沿斜面向下初速度为零的匀加速运动．
在沿斜面方向上mgsinθ=ma加 a加＝gsinθ………①， 水平方向上的位移s=a=v0t……②，
2
沿斜面向下的位移y=b=? a加t……③，
由①②③得v0＝a〃gsin? 2b /
说明：运用运动分解的方法来解决曲线运动问题，就是分析好两个分运动，根据分运动的运动性质，选择合适的运动学公式求解
【例8】从高H处的A点水平抛出一个物体，其水平射程为2s。若在A点正上方高H的B点抛出另一个物体，其水平射程为s。已知两物体的运动轨迹在同一竖直平面内，且都从同一竖屏M的顶端擦过，如图所示，求屏M的高度h？
分析：思路1：平抛运动水平位移与两个因素有关：初速大小和抛出高度，分别写出水平位移公式，相比可得初速之比，设出屏M的顶端到各抛出点的高度，分别写出与之相应的竖直位移公式，将各自时间用水平位移和初速表示，解方程即可。
思路2：两点水平抛出，轨迹均为抛物线，将“都从同一竖屏M的顶端擦过”转化为数学条件：两条抛物线均过同一点。按解析几何方法求解。
解析:画出各自轨迹示意图
法一:由平抛运动规律根据题意得
22
2s=VAtA……①，s=VBtB……②，H=?gtA……③, 2H=?gtB……④
2tB,vA?22vB,又设各自经过时间t1、t2从屏M的顶端擦过，则在竖直方向上有222
H－h=?gt1，2H－h=?gt2，在水平方向上有x=vAt1=vBt2，由以上三式解得h=6H/7。
gx，依题意有yA=H－h，yB=2H－h时所对应的法二：由平抛运动规律可得抛物线方程y?2v可得:t?A20x值相同，将（x，yA）（x，yB）分别代入各自的抛物线方程联立求出h=6H/7。
【例9】排球场总长18m，网高2．25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。（g取10m/s2）
（1）若击球的高度h＝2．5m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？
（2）若运动员仍从3m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界，试求h满足的条件。 【解析】（1）球以vl速度被击回，球正好落在底线上，则t1＝2h/g，vl=s/t1
将s=12m，h＝2．5m代入得v1=122m/s；
球以v2速度被击回，球正好触网，t2＝2h//g，v2=s/t2
/
将h=（2.5－2.25）m＝0．25m，s＝3m代入得v2=310m/s。故球被击目的速度范围是310m/s＜v≤122m/s。
（2）若h较小，如果击球速度大，会出界，如果击球速度小则会融网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则
/
//
s2h/g=
s/2h//g，s、s的数值同（1）中的
/
值，h＝ h－2．25（m），由此得 h＝2.4m
故若h＜2.4m，无论击球的速度多大，球总是触网或出界。
试题展示
1.如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足 A.tanφ=sinθ B. tanφ=cosθ C. tanφ=tanθ D. tanφ=2tanθ 答案：D
gt0.5gt2解析：竖直速度与水平速度之比为：tanφ = ，竖直位移与水平位移之比为：tanθ = ，
v0v0t
故tanφ =2 tanθ ，D正确。 2.关于做平抛运动的物体，正确的说法是
A.速度始终不变 B.加速度始终不变 C.受力始终与运动方向垂直 D.受力始终与运动方向平行 答案：B
【解析】平抛运动是曲线运动，方向时刻在改变，选项A、C、D错误。受力特点是只有重
力，加速度为重力加速度，选项B正确。
3.如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，
分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经过时间ta和tb后落到与两出点水平距离相等的P点。若不计空气阻力，下列关系式正确的是
A
A. ta>tb, va
4. 在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地。若不计空气阻力，则（ D ）
A. 垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B. 垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定 C. 垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D. 垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
5．一水平放置的水管，距地面高h＝l.8m，管内横截面积S＝2.0cm2。有水从管口处以不变的速度v＝2.0m/s源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开。取重力加速度g＝10m／s2，不计空气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水。
解：以t表示水由喷口处到落地所用的时间，有
h?12gt ① 2单位时间内喷出的水量为
Q＝S v ②
空中水的总量应为
V＝Q t ③
由以上各式得
V?S?v?2h ④ g代入数值得
V?2.4?10?4m3 ⑤
6.抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1，水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1。．
(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图虚线所示)，求v2的大小．
(3)若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3．
答案:（1）P1 点与O点的距离x1?v12h1； g（2） v2?（3） h3?Lg；
22h4h 3【解析】(1) 设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动
h1?12gt12??①
x1??1t1解得：x1??1??②
2h1g??③
(2) 设发球高度为h2，飞行时间为t2，同理根据平抛运动
h2?12gt22??④
x2??2t2??⑤
且h2=h ……⑥ 2x2=L ……⑦ 得：?2?Lg22h??⑧
（3）如图所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，同理根据平抛运动
h3?12gt32??⑨
x3??3t3??⑩
且3x3=2L ……⑾
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有：
h3?h?12gt2??⑿
x??3t??⒀
由几何关系知x3+s=L ……⒁ 联立⑨～⒁，解得：h3?
4h 3
第三单元 匀速圆周运动
基础知识
一、描述圆周运动的物理量
1．线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值。 （1）物理意义：描述质点沿切线方向运动的快慢． （2）方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向． （3）大小：V=S/t
说明:线速度是物体做圆周运动的即时速度
2．角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值。
（l）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢． （2）大小：ω＝φ/t（rad／s）
3．周期T，频率f：做圆周运动物体一周所用的时间叫周期．
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速． 4．V、ω、T、f的关系
T＝1/f，ω＝2π/T=2πf，v＝2πr/T＝2πrf=ωr．
T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了．但v还和半径r有关． 5．向心加速度
（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢 （2）大小：a=v2/r=ω2r=4π2fr=4π2r/T2=ωv，
（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化．不论a的大小是否变化，a都是个变加速度． （4）注意：a与r是成正比还是反比，要看前提条件，若ω相同，a与r成正比；若v相同，a与r成反比；若是r相同，a与ω2成正比，与v2也成正比． 6．向心力
（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．因此，向心力对做圆周运动的物体不做功．
（2）大小： F＝ma＝mv2/r＝mω2 r=m4π2fr=m4π2r/T2=mωv
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化．即向心力是个变力．
说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定． 二、匀速圆周运动
1．特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
2．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．
3．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
4．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 三、变速圆周运动（非匀速圆周运动）
变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．
曲线运动 知识点 例题详解
