第四章 曲线运动
第一单元 运动的合成与分解
基础知识
一、运动的合成
1．由已知的分运动求其合运动叫运动的合成．这既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对于复杂运动所需的结果．
2．描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢量运算的法则： （1）如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算．
（2）如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则． 3．合运动的性质取决于分运动的情况:
①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动．
②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。
③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。 二、运动的分解
1．已知合运动求分运动叫运动的分解．
2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．
3．将速度正交分解为 vx＝vcosα和vy=vsinα是常用的处理方法．
4．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向． 三、合运动与分运动的特征：
（1）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．
（2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响． (3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；
(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。 【例1】如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以
d?H?2t2 (SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)
规律变化，则物体做
(A)速度大小不变的曲线运动． (B)速度大小增加的曲线运动．
(C)加速度大小方向均不变的曲线运动．
(D)加速度大小方向均变化的曲线运动． 答案：B C 四、物体做曲线运动的条件
1．曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线；曲线运动的速度方向是该点的切线方向；曲线运动速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动．
2．物体做一般曲线运动的条件：运动物体所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线上（即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π的夹角）． 说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小。 3.重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变曲线运动，如平抛运动；另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动．
规律方法
1、运动的合成与分解的应用
合运动与分运动的关系：满足等时性与独立性．即各个分运动是独立进行的，不受其他运动的影响，合运动和各个分运动经历的时间相等，讨论某一运动过程的时间，往往可直接分析某一分运动得出．
【例2】小船从甲地顺水到乙地用时t1，返回时逆水行舟用时t2，若水不流动完成往返用时t3，设船速率与水流速率均不变，则（ ）
A．t3＞t1＋t2 ； B．t3＝t1＋t2； C．t3＜t1＋t2 ； D．条件不足，无法判断 解析：设船的速度为V，水的速度为v0，则
t1?SS2S,t?2,t?3,因此t1V?v0V?v0V?t2?2VSV?v022
?2Sv2V?0 解析：如图所示，若B杆不动，A杆以V1速度运动，交点将沿B杆移动，速 //度为V1，V1=V1／sinθ．若A杆不动，B杆移动时，交点M将沿A杆移动，速//度为V2，V2=V2／sinθ．两杆一起移动时，交点M的速度vM可看成两个分速 /1/2度V和V的合速度，故vM的大小为 /2/2//22vM=v1?v2?2v1v2cos1800??=v1?v2?2v1v2cos?/sin? ??【例4】玻璃板生产线上，宽9m的成型玻璃板以43m／s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8m／s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间多长？ 解析：要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直v，如图设v刀与v玻方向夹角为 A/ C A 022?v玻θ，cosθ=v玻/v刀=43/8，则θ=30。v=v刀=64?48=4m/s。 E D E/ 时间t=s/v=9/4=2〃45s 【例5】如图所示的装置中，物体A、B的质量mA＞mB。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，若用水平力F向右拉A，起动后，使B匀速上升。设水平地面对A的摩擦力为f,绳对A的拉力为T，则力f,T及A所受合力F合的大小（） ↑B A.F合≠O,f减小，T增大；B.F合≠O,f增大，T不变； A C. F合＝O,f增大，T减小；D. F合＝O,f减小，T增大； 分析:显然此题不能整体分析。B物体匀速上升为平衡状态，所受的绳拉力T 恒等于自身的重力，保持不变。A物体水平运动，其速度可分解为沿绳长方向的速度（大小时刻等于B物体的速度）和垂直于绳长的速度（与B物体的速度无关），写出A物体速度与B物体速度的关系式，可以判断是否匀速，从而判断合力是否为零。 解：隔离B物体：T=mBg，保持不变。隔离A物体：受力分析如图所示，设绳与水平线夹角为θ，则： ①随A物体右移，θ变小，由竖直平衡可以判断支持力变大。由f=μN，得f变大。 ②将A物体水平运动分解如图所示，有vB＝vAcosθ，故随θ变小，cosθ变大，VB不变，VA变小，A物体速度时时改变，必有F合≠O。 所得结论为：F合≠O，f变大，T不变。B项正确。 【例6】两个宽度相同但长度不同的台球框固定在水平面上，从两个框的长边同时以相同的速度分别发出小球A和B，如图所示，设球与框边碰撞时无机械能损失，不计摩擦，则两球回到最初出发的框边的先后是（ ） A. A球先回到出发框边 B球先回到出发框边 C.两球同时回到出发框边 D.因两框长度不明，故无法确定哪一个球先回到出发框边 解析：小球与框边碰撞无机械能损失，小球每次碰撞前后的运动速率不变，且遵守反射定律。以A球A B 进行分析，如图。 小球沿AC方向运动至C处与长边碰后，沿CD方向运动到D处与短边相碰，最后沿DE回到 // 出发边。经对称得到的直线ACDE的长度与折线ACDE的总长度相等。 框的长边不同，只要出发点的速度与方向相同，不论D点在何处，球所通过的总路程总是相同的，不计碰撞时间，故两球应同时到达最初出发的框边。答案：C 也可用分运动的观点求解：小球垂直于框边的分速度相同，反弹后其大小也不变，回到出发边运动的路程为台球桌宽度的两倍，故应同时回到出发边。 【例7】如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A,B的绳分别与水平方向成a、β角，此时B物体的速度大小为 ，方向 解析：根据A,B两物体的运动情况，将两物体此时的速度v和vB分别分解为两个分速度v1（沿绳的分量）和v2（垂直绳的分量）以及vB1（沿绳的分量）和vB2（垂直绳的分量），如图，由于两物体沿绳的速度分量相等，v1＝vB1，vcosα＝vBcosβ. F 则B物体的速度方向水平向右，其大小为vB?cos?v cos?【例8】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。 解析：设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V0、V1在OP方向的投影相等，即有 V0sin??V1cos?， V1 R θ P O V解得V1=V0.tgθ. 2、小船渡河问题分析 【例9】一条宽度为L的河，水流速B E Vc Vc V1 V V 度为vs，已知船在静水中的航速为vc，Vc 那么，（1）怎样渡河时间最短？（2）Vs Vs A α θ Vs θ θ 若vs＜vc怎样渡河位移最小？（3）若V2 图2甲图2乙 图2丙 vs＞vc，怎样渡河船漂下的距离最短？ 分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=Vcsinθ,渡河所需时间为：t?L. Vcsin?0 可以看出：L、Vc一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，tmin?L. Vc(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：Vccosθ─Vs=0. 所以θ=arccosVs/Vc,因为0≤cosθ≤1,所以只有在Vc>Vs时，船才有可能垂直于河岸横渡。 （3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头Vc与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以Vs的矢尖为圆心，以Vc为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=Vc/Vs,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosVc/Vs. ?)船漂的最短距离为：xmin?(Vs?VccosLV?sL. cos?VcL. 此时渡河的最短位移为： Vcsin?s?思考：①小船渡河过程中参与了哪两种运动？这两种运动有何关系？ ②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么？ 3、曲线运动条件的应用 做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向．若合外力为变力，则为变加速运动；若合外力为恒力，则为匀变速运动； 【例10】质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做( ) A．匀加速直线运动； B．匀减速直线运动； C．匀变速曲线运动； D．变加速曲线运动。 分析与解：当撤去F1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F1，方向与F1方向相反。 若物体原来静止，物体一定做与F1相反方向的匀加速直线运动。 若物体原来做匀速运动，若F1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。 若F1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。正确答案为：A、B、C。 【例11】图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线 a 是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹,a,b是轨迹上的两点．若 带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（） A.带电粒子所带电荷的符号 B.带电粒子在a,b两点的受力方向 C.带电粒子在a,b两点的速度何处较大 D.带电粒子在a,b两点的电势 b 能何处较大 解析：由图中的曲线可以看出，不管带电粒子由a→b还是由b→a，力的方向必然指向左下方，从而得到正确答案：BCD 思考：若实线为等势线，该题又该如何分析 【例12】 如图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，oy表示竖直向上方向。该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿oy方向竖直向上抛出，初N 动能为4J，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中M点所示。求： ?小球在M点时的动能E1。?在图上标出小球落回x轴时的位置N。?小球到达N点时的动能E2。 解：⑴在竖直方向小球只受重力，从O→M速度由v0减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v1，由图知这两个分运动平均速度大小之比为2∶3，因此v0∶v1=2∶3，所以小球在M点时的动能E1=9J。 ⑵由竖直分运动知，O→M和M→N经历的时间相同，因此水平位移大小之比为1∶3，故N点的横坐标为12。 ⑶小球到达N点时的竖直分速度为v0，水平分速度为2v1，由此可得此时动能E2=40J。 3 试题展示 1.如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向而大小不变(即由F变为-F)，在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ） A．物体可能沿曲线Ba运动 B．物体可能沿曲线Bb运动 C．物体可能沿曲线Bc运动 D．物体可能沿原曲线由B返回A
曲线运动 知识点 例题详解
