2008年全国高中数学联赛试题及答案
一 试
一、选择题（每小题6分，共36分）
5?4x?x21．函数f(x)?在(??,2)上的最小值是 （ ）。
2?x（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 2．设A?[?2,4)，B?{xx2?ax?4?0}，若B?A，则实数a的取值范围为（ ）。 （A）[?1,2) （B）[?1,2] （C）[0,3] （D）[0,3) 3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比
2对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率
31为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数?的期望E?为 （ ）。 3（A）
241670266274 （B） （C） （D） 812438181
4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
3
（A）764 cm或586 cm3 （B） 764 cm3 （C）586 cm3或564 cm3 （D） 586 cm3
?x?y?z?0,5．方程组?的有理数解(x,y,z)的个数为 （ ）。 ?xyz?z?0,?xy?yz?xz?y?0?（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 6．设?ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则 sinAcotC?cosA的取值范围是（ ）。
sinBcotC?cosB5?1) 25?15?15?1（C）(,) （D）(,??)
222二、填空题（每小题9分，共54分）
7．设f(x)?ax?b，其中a,b为实数，f1(x)?f(x)，fn?1(x)?f(fn(x))，n?1,2,3,?，若
f7(x)?128x?381，则a?b? .
18．设f(x)?cos2x?2a(1?cosx)的最小值为?，则a? . 29．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种．
n?110．设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?an?，n?1,2,?，则通项an= ．
n(n?1)11．设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?2008 ，且对任意x?R，满足 f(x?2)?f(x))= . ?3?x，2f(x?6)?f(x)?63?2x，则f(2008（A）(0,??) （B） (0,12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，
1
则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 三、解答题（每小题20分，共60分）
13．已知函数f(x)?|sinx|的图像与直线y?kx (k?0)有且仅有三个交点，交点的横坐标
的最大值为?，求证：
cos?1??2． ?sin??sin3?4?14．解不等式
log2(x12?3x10?5x8?3x6?1)?1?log2(x4?1)．
15．如图，P是抛物线y2?2x上的动点，点B、C在y轴上，圆(x?1)2?y2?1内切于?PBC，
求?PBC面积的最小值．
第15题
解 答
1?(4?4x?x2)111. 当x?2时，2?x?0，因此f(x)???(2?x)?2??(2?x) 2?x2?x2?x?2，当且仅当1?2?x时取等号．而此方程有解x?1?(??,2)，因此f(x)在(??,2)上
2?x的最小值为2．故选C.
aa2aa2，故2. 因为x?ax?4?0有两个实根 x1??4?，x2??4?B?A等价于
242422aa2aax1??2且x2?4，即?4???2且?4??4，解之得0?a?3．故选D。
24243.方法一： 依题意知，?的所有可能值为2、4、6. 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比
215赛停止的概率为()2?()2?．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得
3395一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(??2)?，
9452041652016266，P(??6)?()2?，故E??2??4．故选B。 P(??4)?()()????6?99819819818181方法二： 依题意知，?的所有可能值为2、4、6.令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则Ak表
示乙在第k局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得
5P(??2)?P(A1A2)?P(A1A2)?，
9P(??4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)
211220 ?2[()3()?()3()]?，
333381 2
P(??6)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)
2116 ?4()2()2?，
338152016266因此E??2??4??6??．故选B。
98181814. 设这三个正方体的棱长分别为a、b、c，则有6?a2?b2?c2??564，即a2?b2?c2?94。
不妨设1?a?b?c?10，从而3c?a?b?c?94，c?31．故6?c?10，c只能取9、8、7、6 ．
若c?9，则a2?b2?94?92?13，易知a?2，b?3，得一组解(a,b,c)?(2,3,9)． 若c?8， 则a2?b2?94?64?30，b?5．但2b?30，即b?4，从而b?4或5．若b?5，则a2?5无解；若b?4，则a2?14无解．因此c=8时无解．
若c?7，则a2?b2?94?49?45，有唯一解a?3，b?6．
若c?6，则a2?b2?94?36?58，此时2b?58，即b?29。故b?6，但b?c?6，所以b?6，此时a?58?36?22无解．
,c,?)综上，共有两组解(ab222222222(2或,(a,b,c)?(3,6,7)，体积为
（cm）或V2?33?63?73?586（cm3）。故选A。 V1?23?33?93?7634?x??1，?x?y?0，?x?0，5. 若z?0，则?解得?或?
y?1.xy?y?0.y?0???若z?0，则由xyz?z?0得xy??1． ① 由x?y?z?0得z??x?y． ②
将②式代入xy?yz?xz?y?0得x2?y2?xy?y?0． ③
1由①式得x??，代入③式化简得(y?1)(y3?y?1)?0.易知y3?y?1?0无有理数根，
y故y?1，由①式得x??1，由②式得z?0，与z?0矛盾，故该方程组共有两组有理数解
?x?0,?x??1,???y?0,或?y?1,故选B。
?z?0.?z?0??6.设a、b、c的公比为q，则b?aq,c?aq2，而
sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC ?sinBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinCsinA(?C)?s?inB()Bsibn ?????q．
sinB(?C)?s?inA()Asian因此，只需求q的取值范围．因为a、b、c成等比数列，最大边只能是a或c，因此a、b、c2??a?aq?aq,要构成三角形的三边，必须且只需a?b?c且b?c?a．即有不等式组?即2??aq?aq?a?1?55?1?q?,2??5?15?1?q?q?1?0,?22?q?解得从而，因此所求的取 ?2?22??q?q?1?0.?q?5?1或q??5?1.??22值范围是(5?15?1,)．故选C。 22nn?17. 由题意知fn(x)?ax?(a?an?2an?1得???a?1)b?ax??b，由f7(x)?128x?381a?1n 3
a7?1a?128，?b?381，因此a?2，b?3，a?b?5．
a?1a18. f(x)?2cos2x?1?2a?2acosx?2(cosx?)2?a2?2a?1，
22(1) a?2时，f(x)当cosx?1时取最小值1?4a； (2) a??2时，f(x)当cosx??1时取最小值1；
a1(3) ?2?a?2时，f(x)当cosx?时取最小值?a2?2a?1．
221又a?2或a??2时，f(x)的c不能为?，
211故?a2?2a?1??，解得a??2?3，a??2?3(舍去)．
229. 方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用?表示名额．如
|????|???|??|
表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“?”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24?2?26(个)位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“?”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有C2(种)．又在“每校至少有一个名额的分法”中23?253“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222(种)．
方法二：设分配给3个学校的名额数分别为x1、x2、x3，则每校至少有一个名额的分法
7数为不定方程x1?x2?x3?24的正整数解的个数，即方程x1?x2?x3?21的非负整数解的个
212数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：H3．又在“每校至?C2123?C23?253少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222（种）．
nn?110. an?1?Sn?1?Sn??an?1??an，
(n?1)(n?2)n(n?1)n?2?211即 2an?1????an
(n?1)(n?2)n?1n(n?1)?21 =， ?an?(n?1)(n?2)n(n?1)11由此得 2(an?1?． )?an?(n?1)(n?2)n(n?1)令bn?an?11111，b1?a1?? (a1?0)，有bn?1?bn，故bn?n，所以
2222n(n?1)11． ?nn(n?1)211. 方法一：由题设条件知
f(x?2)?f(x)??(f(x?4)?f(x?2))?(f(x?6)?f(x?4))?(f(x?6)?f(x)) ??3?2x?2?3?2x?4?63?2x?3?2x， 因此有f(x?2)?f(x)?3?2x，故
f(2008)?f(2008)?f(2006)?f(2006)?f(2004)???f(2)?f(0)?f(0) ?3?(22006?22004???22?1)?f(0) an?41003?1?1 ?3??f(0)
4?12008 ?2?2007．
4
方法二： 令g(x)?f(x)?2x，则
g(x?2)?g(x)?f(x?2)?f(x)?2x?2?2x?3?2x?3?2x?0，
g(x?6)?g(x)?f(x?6)?f(x)?2x?6?2x?63?2x?63?2x?0，
即g(x?2)?g(x),g(x?6)?g(x)，故g(x)?g(x?6)?g(x?4)?g(x?2)?g(x)，得g(x)是周期为2的周期函数，所以f(2008)?g(2008)?22008?g(0)?22008?22008?2007．
12. 如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体P?A1B1C1的中心，PO?面A1B1C1，垂足D为
11A1B1C1的中心．因VP?A1B1C1?S?A1B1C1?PD?4?VO?A1B1C1?4??S?A1B1C1?OD，
33故PD?4OD?4r，从而PO?PD?OD?4r?r?3r．
22记此时小球与面PAB的切点为P1，连接OP，则PP(3r)2?r2?22r． 1?PO?OP1?1 （第12题图1）
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为PEF，如图2．记正四面体的棱长为a，过P1作PM?PA11于M．因?MPP1?3?6r，故小三角形的边长
62PE?PA?2PM?a?26r．小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如图2中阴影部1，有PM?PP1?cosMPP1?22r??322(a?(a?26r)2)?32ar?63r． 4r?1又，，所以a?46S?PAB?S?P1EF?243?63?183．由对称性，且正四面体分）S?PAB?S?PEF?1共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723．
3?13. f(x)的图象与直线y?kx (k?0)的三个交点如答13图所示，且在第(12内相切，其） ?,题图)223?切点为A(?,?sin?)，??(?,)． 23由于f?(x)??cosx，x?(?,?)，所
2sin?以?cos???，即??tan?．因此
?
（第13
cos?cos?1cos2??sin2?1?tan2?1??2 ? ?． ???sin??sin3?2sin2?cos?4sin?cos?4sin?cos?4tan?4?4414. 方法一：由1?log2(x?1)?log2(2x?2)，且log2y在(0,??)上为增函数，故原不等式
等价于
x12?3x10?5x8?3x6?1?2x4?2．
5
2008年全国高中数学联赛试题及答案
