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重庆市专升本高等数学模拟试卷（一）
一．选择题（本大题共5小题，每小题4分,共20分,每项只有一个正确答案，请
把所选项前的字母填在括号内） 1.limxsinx??2??(x)
(A) 0 (B) 1 (C) ? (D) 2?
2.设F(x)是f(x)在???,???上的一个原函数，且F(x)为奇函数，则f(x)是（ ）
(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 不能确定 3.tanxdx?(?)
(A) lncosx?c (B) ?lncosx?c (C) ?lnsinx?c (D) lnsinx?c
4.设y?f(x)为?a,b?上的连续函数，则曲线y?f(x)，x?a，x?b及x轴所围成的曲边梯形面积为（ ） (A) (C)
??babaf(x)dx (B) ?f(x)dx
abf(x)dx (D) ??f(x)dx
ab5.下列级数发散的是（ ）
?13?4n2nA．?(?1) B．?(?1)
n?1(n?1)(n?2)n?1n?1?nC．
?(?1)n?1?n?1?1 D．?3nn?11(2n?1)32
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分,共20分，请把正确结果填在划线上） 1.方程 x?y?3axy?0 所确定的隐函数y?y(x)的导数为 2.y??331tan2(x?3y)的通解为 33..若limnun?k（k?0），则正项级数
n???un?1?n的敛散性为 ．精品
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4.积分
?211dx＝ 2x?15.二次积分
?dx?031x204xdy＝ 三．计算题（本大题共10题，1-8题每题8分, 9题9分,10题7分） 1、求极限limx?1x?1 x?122、已知ln(x?y)?xy?xsinx，求
2dy
dxx?03.
?10xarctanxdx
24、求方程y???y??2y?x的通解
(x?2)n5、求幂级数?的收敛域．
n?1n?0?6、.求二重积分的闭合区域.
??Dx2d?，其中D是由直线x?2，y?x及直线xy?1所围成y2x?lnx2?y2的全微分． y7、求函数z?arctan?x1?4x2?x3??1?8、对于非齐次线性方程组??x2?3x3?3，?为何值时，（1）有唯一值；
?x?3x?(??1)x?023?1（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。
9、过点M(3, 0)作曲线y?ln(x?3)的切线，该切线与此曲线及x轴围成一平面图形D．试求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
10.设f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内二阶可导，且f(a)?f(b)?0，且存在点
c??a,b?使得f(c)?0，试证明至少存在一点???a,b?，使f??(?)?0
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参考答案
一．选择题
1. D 2. B 3. B 4. C 5. A
二．填空题
ay?x2111．y??2 2． 2y?x?sin[2(x?3y)]?c 3．发散 4．ln3
23y?ax5．1
三．计算题
1．解：用洛必塔法则
x3?23limx?1x?12=lim31=
3x?1x?1?2x2222．解：ln(x?y)?xy?xsinx
两边同对x求导 得
2x?y??y2?2xyy??sinx?xcosx 2x?y当x?0时由原方程式可得y?1 于是解得y??0??1
3．解：
?10xarctanxdx=
1112112112=arctanxdxxarctanx??xdx ?20020241?x??1?1??1?11x2?1?1?11dx =??=+=?+=? ?arctanx8201?x282208284224．解：对应的齐次方程的特征方程为????2?0 得?1??2,?2?1
于是对应的齐次方程的通解为y?c1e?2x?c2ex（其中c1,c2是任意常数）
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因为??0不是特征根，所以设特解为y?Ax?Bx?C 代入原方程，得A?0,B??故原方程的通解为y?y?y??c1e?2x?21111,C??，y???x? 242411 ?c2ex??x?（其中c1,c2是任意常数）
245．解：因为??limn??an?1an1n?1?limn?2?lim?1 n??n??1n?2n?11所以原级数的收敛半径为 R????1
也就是，当?1?x?2?1，即1?x?3时，原级数收敛．
当x?1时，原级数为
?n?0(?1)n是交错级数且满足
n?1un?111?0，所以它是收敛的； ??un?1，limun?limn??n??n?1n?1n?2当x?3时，原级数为发散的；
?n?0?11，这是一个p??1的p?级数，所以它是
2n?1所以，原级数的收敛域为[1, 3)．
6．解：
??D22xxx2d?=?dx?12dy 21yxy=
x??dx ?21x?21y1x=
9= ???x?xdx?4231
7、解：由于
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?zyxx?y?2?? ?xx?y2x2?y2x2?y2?zxyy?x??2?? 22222?yx?yx?yx?y所以
dz??z?zx?yy?xdx?dy?2dx?dy． 222?x?yx?yx?y
8、解：增广矩阵
?1?1?r?r?14?1?1??14?1?1??14??r3?r1??r32??r32??B??0??33??????0??33??????0?1??21??13??10??0?1??21??00(??3)(??1)??3???????
（1）要使方程组有唯一解必有R(A)?R(B)?3则(??3)(??1)?0即
???3且??1
?(??3)(??1)?0（2）要使方程组无解必有R(A)?R(B)则?即??1
??3?0?（3）要使方程组有无穷多解必有R(A)?R(B)?3则??(??3)(??1)?0即
???3?0???3
此时增广矩阵
?14?1?1??14?1?1?r?4r?10?53?????r12?(?21)??B??0??33???0?1?11??????011?1?
?13??10??00?00000?0????????x1??3??5???????x?3?5x?13同解方程组?令x3?k则通解为?x2????1??k??1?
x??1?x3?2?x??0??1??3?????9、解：设切线与曲线相切于点M0?x0,ln(x0?3)?（如第9题图所示），
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