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函数单调性的判定方法
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1.判断具体函数单调性的方法
1.1 定义法
一般地，设f为定义在D上的函数。若对任何x1、x2?D，当x1?x2时，总有
(1)f(x1)?f(x2)，则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等f(x1)?f(x2)时，称f为D上的严格增函数；
(2)f(x1)?f(x2),则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(x1)?f(x2) 时，称f为D上的严格减函数。
利用定义来证明函数y?f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取x1,x2?D且x1?x2； （2）作差f(x1)?f(x2)；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断f(x1)?f(x2)差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性）。 例1.用定义证明f(x)??x?a(a?R)在(??,??)上是减函数。
证明：设x1,x2?(??,??)，且x1?x2，则
33332f(x1)?f(x2)??x1?a?(?x2?a)?x2?x1?(x2?x1)(x12?x2?x1x2).
3由于x1?x2?x1x2?(x1?22x2232)?x2?0，x2?x1?0 2422则f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x1?x2?x1x2)?0，即f(x1)?f(x2)，所以f(x)在???,???上是减函数。
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例2.用定义证明函数f(x)?x?k (k?0) 在(0,??)上的单调性。 x证明：设x1、x2?(0,??)，且x1?x2，则
f(x1)?f(x2)?(x1?kkkk)?(x2?)?(x1?x2)?(?)
x1x2x1x2?(x1?x2)?k(x2?x1x?x2xx?k)?(x1?x2)?k(1)?(x1?x2)(12)， x1x2x1x2x1x2又0?x1?x2 所以x1?x2?0，x1x2?0，
当x1、x2?(0,k]时x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为减函数； 当x1、x2?(k,??)时x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为增函数。 综上函数f(x)?x?k (k?0)在区间(0,k]内为减函数；在区间(k,??)内为增函数。 x此题函数f(x)是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于x1x2?k与0的大小关系(k?0)不是明确的，因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当x1?x2时，容易得出f(x1)与
f(x2)大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比
较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：
函数 函数表达式 当k?0时，y在R上是增函数； 单调区间 特殊函数图像 一次函数 y?kx?b(k?0) 当k?0时，y在R上是减函数。 2
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当a?0时，x??b时y单调减, 2a二次函数b时y单调增； 2a(a?0,a,b,c?R) b当a?0时，x??时y单调增，2abx??时y单调减。 2ax?? 当k?0时,y在x?0时单调减，在x?0y?ax2?bx?c一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．f(x)与f(x)+C单调性相同。（C为常数）
⑵．当k?0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k?0时， f(x)与kf(x)具有相反的单调性。 ⑶．当f(x)恒不等于零时，f(x)与
⑷．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数时，则f(x)＋g(x)在D上是增（减）函数。
⑸．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，f(x)g(x)在D上是增（减）函数；当f(x)、
g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，f(x)g(x)在D上是减（增）函数。
⑹．设y?f(x),x?D为严格增（减）函数，则f必有反函数f
?1 反比例函数y?k x时单调减； 当k?0时,y在x?0时单调增，在x?0时单调增。 (k?R且k?0) 当a?1时，y在R上是增函数； 指数函数y?ax 当0?a?1，时y在R上是减函数。 (a?0,a?1) 当a?1时，y在(0,??)上是增函数； 对数函数y?logax(a?0,a?1) 当0?a?1时，y在(0,??)上是减函数。 1具有相反的单调性。 f(x)，且f?1在其定义域f(D)上也是严格增（减）
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函数。
例3.判断f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)?5的单调性。
解:函数f(x)的定义域为(0,??)，由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3 均为增函数，因为
2x?1?0,x2?1?0由性质⑸可得2x?1(x2?1)也是增函数；由单调函数的性质⑷知x?x3?log2x为增函数，
再由性质⑴知函数f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)+5在(0,??)为单调递增函数。
x?a(a?b?0)，判断f(x)在其定义域上的单调性。 x?bx?a解:函数f(x)?的定义域为(??,?b)?(?b,??).
x?ba?bx?a先判断f(x)在(?b,??)内的单调性，由题可把f(x)?转化为f(x)?1?，又a?b?0故a?b?0由
x?bx?b1a?ba?b性质⑶可得为减函数；由性质⑵可得为减函数；再由性质⑴可得f(x)?1?在(?b,??)内是减函
x?bx?bx?b例4.设函数f(x)?数。
同理可判断f(x)在(??,?b)内也是减函数。故函数f(x)?x?a在(??,?b)?(?b,??)内是减函数。 x?b函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。
1.3 图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数f(x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升则函数f(x)在区间I上是增函数；若函数f(x)图像在区间I上从左往右逐渐下降则函数f(x)在区间I上是减函数。、
例5. 如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数y?f(x)的图像，试判断其单调性。
解：由图像可知：函数y?f(x)的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.其中函数y?f(x)在区间[-5,-2），
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[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数y?f(x)在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数y?f(x)在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的，则函数y?f(x)在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。
x例6.利用函数图像判断函数?f(x)?x?1；?g(x)?2；?h(x)?2x?x?1在[-3,3]上的单调性。
分析：观察三个函数，易见h(x)?f(x)?g(x)，作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出f(x)?x?1和g(x)?2的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出h(x)?2x?x?1的图像，最后利用图像判断函数h(x)?2x?x?1的单调性。
解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数?f(x)?x?1在闭区间[-3,3]上是单调增函数；?g(x)?2在闭区间[-3,3]上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出?h(x)?2x?x?1在闭区间[-3,3]上图像，即?h(x)?2x?x?1在闭区间[-3,3]上是单调增函数。事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。
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用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对于不易作图的函数就不太适用了。但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。 1.4 复合函数单调性判断法
定理1：若函数y?f(u)在U内单调，u?g(x)在X内单调，且集合{u︳u?g(x)，x?X}?U （1）若y?f(u)是增函数，u?g(x)是增（减）函数，则y?f[g(x)]是增（减）函数。（2）若y?f(u)是
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函数单调性的判定方法（高中数学）
