规律方法 椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如－a≤x≤a，－b≤y≤b，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系，同时注意应用函数思想处理最值问题. 角度3 与离心率有关的最值(范围)问题
x2y2
【例4－3】 (一题多解)(2024·江西大联考)椭圆G：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c，
ab→→
0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足F1M·F2M＝0.则椭圆离心率e的取值范围为( ) 2??
? 2??
?2?C.?，1? ?2?A.?0，
2??
? 2??
?2?D.?，1? ?2?B.?0，→→
解析 法一 设点M的坐标为(x0，y0)，∵F1M·F2M＝0，F1(－c，0)，F2(c，0)，∴(x0＋c)·(x0－c)＋y0＝0，即x0＋y0＝c.①
2
2
2
2
x2y200
又知点M在椭圆G上，∴2＋2＝1，②
aba2（c2－b2）22
由①②联立结合a－b＝c解得x＝，由椭圆的性质可得0≤x0≤a，即2
c2
2
2
20
????c≥b，
即?所以c≥b，又知b＝a－c，∴c≥a－c，即2c≥a，?a（c－b）
?c－b≤c，?
??c≤a，
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a2（c2－b2）
≥0，
c2122
解得e≥，又知0 22 →→ 法二 ∵椭圆G上存在点M使F1M·F2M＝0，∴MF1⊥MF2，即△MF1F2是以M为直角顶点的直角三角形， ∵|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，(|MF1|＋|MF2|)≤2(|MF1|＋|MF2|)＝2|F1F2|＝8c，∴|MF1||F1F2|2c2＋|MF2|≤22c，∴e＝≥＝，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2c时，等号成立， |MF1|＋|MF2|22c2又知0 2 2 2 2 2 ?2? ，1?.故选D. ?2? 答案 D 规律方法 解决椭圆离心率的最值或范围问题，注意应用椭圆的性质建立不等关系，同时注意椭圆的离心率e∈(0，1). 【训练4】 (1)(角度1)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点， 2516 x2y2 点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________. x2y2 (2)(角度2)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°， 3m则m的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) D.(0，3]∪[4，＋∞) (3)(角度3)(2024·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l： y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( ) A.5 5 B. 10 5 C.25 5 D.210 5 解析 (1)由椭圆的方程可知F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|，∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线且P在线段 MF2上时取得等号， 又|MF2|＝（6－3）＋（4－0）＝5，2a＝10， ∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5. (2)①当焦点在x轴上，依题意得 0 ∠AMB≥tan＝3. 2m3 22∴0 23 综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). x2y2 (3)不妨设椭圆方程为2＋2＝1(a>1)， aa－1x2y2??2＋2＝1， 与直线l的方程联立?aa－1 ??y＝x＋3， 2 2 2 消去y得(2a－1)x＋6ax＋10a－a＝0， 由题意易知Δ＝36a－4(2a－1)(10a－a)≥0， 解得a≥5， 4 2 4 224 c155所以e＝＝≤，所以e的最大值为. aa55 答案 (1)－5 (2)A (3)A A级 基础巩固 一、选择题 1.(2024·张家口调研)椭圆A.(±3，0) ＋＝1的焦点坐标为( ) 1625 C.(±9，0) 2 2 2 x2y2 B.(0，±3) D.(0，±9) 解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c＝a－b＝25－16＝9，∴c＝3，故焦点坐标为(0，±3). 答案 B 2.(2024·兰州一中月考)若方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围是( ) 5－mm＋3A.(－3，5) B.(－5，3) x2y2 C.(－3，1)∪(1，5) D.(－5，1)∪(1，3) 5－m>0，?? 解析 由方程表示椭圆知?m＋3>0， ??5－m≠m＋3，解得－3 3.已知两圆C1：(x－4)＋y＝169，C2：(x＋4)＋y＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( ) A.－＝1 6448C.－＝1 4864 2 2 2 2 x2x2 y2y2 B.D. ＋＝1 4864＋＝1 6448 x2x2 y2y2 解析 设圆M的半径为r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 且2a＝16，2c＝8， 所以a＝8，c＝4，b＝a－c＝43， 故所求的轨迹方程为＋＝1. 6448答案 D 2 2 x2y2 4.(2024·湖北重点中学联考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于 43长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( ) 4A. 3 B.1 4C. 5 3D. 4 x2y2 解析 不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋＝1 43312S63 中，可得A点纵坐标为，故|AB|＝3，所以由S＝Cr得内切圆半径r＝＝＝(其中S为△ABF1 22C84的面积，C为△ABF1的周长). 答案 D 5.(2024·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( ) A.＋y＝1 2C.＋＝1 43 x2y2 x2 2 B.＋＝1 32D.＋＝1 54 x2y2x2y2 x2y2 x2y2 解析 设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m. ab由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点. 2→→?3b?如图.不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，AF2＝2F2B，得B?，?. ?22? 94 ab2 4 2 2 2 2 由点B在椭圆上，得2＋2＝1，得a＝3，b＝a－c＝2，椭圆C的方程为＋＝1. ab32 x2y2 答案 B 二、填空题 6.若椭圆 1 ＋＝1的离心率e＝，则k的值为______. k＋892 2 2 2 x2y2 c2a2－b2k－11 解析 (1)若焦点在x轴上，即k＋8>9>0时，a＝k＋8，b＝9，e＝2＝2＝＝，解 aak＋84 得k＝4. c2a2－b21－k1 (2)若焦点在y轴上，即0 aa94 2 2 2 5－. 4 5 综上，k＝4或k＝－. 45 答案 4或－ 4 7.(2024·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限. 3620若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________. 解析 不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝236－20＝8， 因为△MF1F2是等腰三角形， |MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12， 所以|MF1|>6，|MF2|<6， 所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形. 故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)＋y＝64上. 因为点M在椭圆＋＝1上， 3620 （x＋4）＋y＝64，??2?x＝3，2 所以联立方程可得?xy解得? ＋＝1，y＝±15.???3620又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15). 答案 (3，15) 8.(2024·昆明诊断)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时， 925点P的坐标是________. 解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 2 2 2 2 x2y2 x2y2 x2y2 ?|PF1|＋|PF2|?＝25，当且仅当|PF|＝|PF|＝5，即点P位于椭圆的短 则m＝|PF1|·|PF2|≤??12 2?? 轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0). 答案 (－3，0)或(3，0) 三、解答题 9.已知椭圆x＋(m＋3)y＝m(m>0)的离心率e＝坐标、顶点坐标. 2 2 2 3 ，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点2
2024届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及简单几何性质教学案含解析新人教A版
