第5节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 －a≤x≤a 范围 －b≤y≤b 对称性 顶点 －a≤y≤a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 －b≤x≤b A1(－a，0)，A2(a，0)， 性质 A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) B1(0，－b)，B2(0，b) 轴 焦距 离心率 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c ce＝∈(0，1) ac2＝a2－b2 a，b，c的关系 [常用结论与微点提醒]
1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
x2y200
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?2＋2<1；
abx2y200
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?2＋2＝1；
abx2y200
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?2＋2>1.
ab2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a； (2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2
x2y2
＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆2＋2＝1(a>b>0)中；
ab(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝btan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为
2
2
θbc.
2b4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
2
ax2y2
5.AB为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜
abb2x0
率kAB＝－2.
ay0
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程mx＋ny＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
2
2
x2y2y2x2
(4)2＋2＝1(a>b>0)与2＋2＝1(a>b>0)的焦距相同.( ) abab解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
ca2－b2(2)因为e＝＝＝aab?b?1－??，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
a?a?
2
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(老教材选修2－1P49T1改编)若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则
P点的轨迹方程是________________________.
解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a－c＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
2516答案
＋＝1 2516
2
2
x2y2
x2y2
3.(老教材选修2－1P49A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦
54点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________. 解析 设P(x，y)，由题意知c＝a－b＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y15151515
＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为(，1)或(，
542222－1). 答案 (
1515，1)或(，－1) 22
2
2
2
x2y2
x2y2
x2y21
4.(2019·北京卷)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
ab2
A.a＝2b C.a＝2b
2
2
B.3a＝4b D.3a＝4b
22
c122
解析 因为椭圆的离心率e＝＝，所以a＝4c.
a2
又a＝b＋c，所以3a＝4b.故选B. 答案 B
5.(2020·东北三省四校调研)过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为
94( ) A.＋＝1 1510C.＋＝1 1015
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2x2
y2y2
B.D.
＋＝1 2520＋＝1 2015
x2x2
y2y2
x2y294
解析 由题意知c＝5，可设椭圆方程为＋＝1(λ>0)，则＋＝1，解得λ＝10
λ＋5λλ＋5λ或λ＝－2(舍去)，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
1510答案 A
6.(2019·浙江卷)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF95的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.
解析 设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F′，连接OM，MF′，则F(－2，0)，F′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4.
x2y2
x2y2
根据椭圆的定义， 得|PF|＋|PF′|＝6， 所以|PF|＝2. 又因为|FF′|＝4， 所以在Rt△MFF′中，
|MF′||FF′|－|MF|
tan ∠MFF′＝＝＝15，
|MF||MF|即直线PF的斜率是15. 答案
15
2
2
第一课时 椭圆及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
x2y2
(2)(2020·河北九校联考)设F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的
ab一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________________. 解析 (1)连接QA. 由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
(2)∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形， 1
又知△PF1F2的面积为9，∴|PF1|·|PF2|＝9，
2得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中， 由勾股定理得|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|， 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1||PF2|＝|F1F2|， 即4a－36＝4c，∴a－c＝9，即b＝9. 又知b>0，∴b＝3，
又知△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，① 又知a－c＝9，∴a－c＝1，②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为＋＝1.
259答案 (1)A (2)＋＝1
259
规律方法 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.
【训练1】 (2019·福建四校联考)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆
3的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( ) A.23
B.6
C.43
D.2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
x2
2
解析 由椭圆的方程得a＝3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及简单几何性质教学案含解析新人教A版
