案例二. 配方问题
在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.
图5 日常膳食搭配 图6 几种常见的作料
【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成? 【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).
【模型建立】 根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组
?2x?y?4,?3x?2y?7,?x?y?3, ??x?2y?5.【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵
可见
??2?3(A, b) =?1??1?12124?7?初等行变换?????3??5???1?0?0??0?01001?2?, 0??0??x?1, 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以y?2.第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.
【模型分析】(1) 若令?1 = (2, 3, 1, 1)T, ?2 = (1, 2, 1, 1)T, ? = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有解”, 也等价于“?能否由?1, ?2线性表示”.
(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.
(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x克第一种规格的
4
佐料与y克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表
表1 混合后四种原料的含量 原料 佐料规格 第一种 第二种 第三种 因而有如下线性方程组
A 2x 71y 64(x + y) 19B 3x 72y 67(x + y) 19C 1x 71y 63(x + y) 19D 1x 72y 65(x + y) 1914?2x?y?(x?y),?7619??3x?2y?7(x?y),?7619 (?) ??1x?1y?3(x?y),?7619?125?x?y?(x?y).?619?7【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(?), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个
假设不影响解的正确性.
Matlab实验题
蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.
表2 三种食物的营养成分和慢跑的消耗情况 每100克食物所含营养(克) 慢跑5分钟每日需要的营养 营养量(克) 牛奶 大豆面粉 乳清 消耗量(克) 蛋白质 36 51 13 10 33 碳水化合物 52 34 74 20 45 脂肪 10 7 1 15 3 问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?
5
案例三. 投入产出问题
在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.
图7 三个经济部门
这里暂时只讨论一个简单的情形.
【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求? 【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.
【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表
表3 消耗与产出情况 产出(1元) 产出 消耗 煤 电 运 0 0.6 0.5 x 0.6y + 0.5z 0.3 0.1 0.1 y 0.3x + 0.1y + 0.1z 0.2 0.1 0 z 0.2x + 0.1y ?x?(0.6y?0.5z)?60000??y?(0.3x?0.1y?0.1z)?100000, ??z?(0.2x?0.1y)?0 煤 消电 耗 运 根据需求, 应该有
订单 60000 100000 0 即
?x?0.6y?0.5z?60000???0.3x?0.9y?0.1z?100000 ???0.2x?0.1y?z?0【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令
>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0];
6
>> x = A\\b Matlab执行后得 x =
1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835
可见煤矿要生产1.9966?105元的煤, 电厂要生产1.8415?105元的电恰好满足需求.
?x??00.60.5??60000?【模型分析】令x =?y?, A =?0.30.10.1?, b =?100000?, 其中x称为总产值列向
?z??0.20.10??0???????量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则
?00.60.5??x??0.6y?0.5z?Ax =?0.30.10.1??y?=?0.3x?0.1y?0.1z?
?0.20.10??z??0.2x?0.1y???????根据需求, 应该有x ? Ax = b, 即(E ? A)x = b. 故x = (E ? A)?1b.
Matlab实验题
某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.
(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.
(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?
7
案例四. 平板的稳态温度分布问题
在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.
图8 一块平板的温度分布图
【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T1, T2, T3, T4.
100 80 90 T1 T2 60 80 T3 60 T4 50 50
图9 一块平板的温度分布图
【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.
【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组
1?T??14(90?100?T2?T3)?1?T2?(80?60?T1?T4)?4 ?1?T3?(80?60?T1?T4)4?1?T?(50?50?T2?T3)4??4【模型求解】将上述线性方程组整理得
8
数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)
