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（2）首先证明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性质得到BE与FD的数量关系． 【解答】解：（1）①∵AB=AC∠A=90° ∴∠ABC=∠C=45° ∵∠EDB=∠C ∴∠EDB=22.5° ∵BE⊥DE ∴∠EBD=67.5°
∴∠EBF=67.5°﹣45°=22.5° ②在△BEF和△DEB中
∵∠BED=∠FEB=90°，∠EBF=∠EDB=22.5° ∴△BEF∽△DEB
如图：作BG平分∠ABC，交DE于G点， ∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形 设EF=x，BE=y， 则：BG=GD=FD=
y+y﹣x
y
∵△BEF∽△DEB ∴
=
﹣1）y y+y﹣（
﹣1）y=2y
即： =得：x=（∴FD=
∴FD=2BE．
（2）过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，与BA交于点N， ∵DG∥AC， ∴∠GDB=∠C， ∵∠EDB=∠C， ∴∠EDB=∠GDE，
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∵BE⊥DE， ∴∠BED=∠DEG， DE=DE，
∴△DEG≌△DEB，
∴BE=GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF， ∴△GBN∽△FDN， ∴
=
，即
=
，
又∵DG∥AC， ∴△BND∽△BAC， ∴∴
=
，即
=
=k，
=．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，（1）利用等腰直角三角形的性质进行判定和计算．（2）结合图形利用三角函数和相似三角形进行计算求出线段间的关系．
24．已知抛物线y=ax﹣2ax﹣4与x轴交于点A、B（A左B右），与 y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求抛物线的表达式；
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2
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（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=，连结BE，求证：BE⊥
BC．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出抛物线与y轴的交点和对称轴，再根据△ABC的面积求出AB，从而得出点A、B的坐标，最后把点A的坐标代入y=ax﹣2ax﹣4计算即可；
（2）过P作PH⊥x轴于点H，设PH=k，AH=2k，根据tan∠PAB=，得出P点的坐标是（2k﹣2，k）（k＞0），再代入抛物线的解析式求出k，即可得出P的坐标；
（3）设AE交y轴于点D，先根据tan∠ACO=tan∠PAB，得出∠PAB=∠ACO，再根据∠ACO+∠OAC=90°，得出PA⊥AC，根据tan∠BCE=，得出∠ACE=∠OCB，根据B、C的坐标求出∠OCB=∠ACE=45°和BC的长，根据A、C的坐标得出AC和CE的长，从而证出ACO∽△EBC，得出∠EBC=∠AOC=90°，从而证出BE⊥BC． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax﹣2ax﹣4， ∴与y轴交点C（0，﹣4），对称轴为直线x=﹣∴OC=4，
∵抛物线与x轴交于点A、B，且△ABC的面积为12， ∴AB=6，
∴点A（﹣2，0），B（4，0）， ∵抛物线过点A， ∴0=4a+4a﹣4， ∴a=，
∴抛物线表达式为y=x﹣x﹣4；
2
2
2
=，再根据∠ACO=∠BCE，证出△
=1，
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（2）如图1，过P作PH⊥x轴于点H． 设PH=k，AH=2k， ∵tan∠PAB=，
∴P点的坐标是（2k﹣2，k）（k＞0）． ∵点P在抛物线上，
∴k=（2k﹣2）2
﹣（2k﹣2）﹣4， ∴k=，
∴点P的坐标是（5，）；
（3）如图2，设AE交y轴于点D， ∵A（﹣2，0），C（0，﹣4）， ∴tan∠ACO=， ∵tan∠PAB=， ∴∠PAB=∠ACO， ∵∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠PAB+∠OAC=90°， ∴PA⊥AC， ∵tan∠BCE=， ∴∠ACO=∠BCE， ∴∠ACE=∠OCB，
∵B（4，0），C（0，﹣4）， ∴∠OCB=∠ACE=45°，BC=4
，
∵A（﹣2，0），C（0，﹣4）， ∴AO=2，OC=4， ∴AC=2， ∴CE=2
，
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在△AOC和△EBC中， =∴
=
=，
，
=
=
，
∵∠ACO=∠BCE， ∴△ACO∽△EBC， ∴∠EBC=∠AOC=90°， ∴BE⊥BC．
【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，要注意k的取值范围．
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2020-2021学年湖北省武汉市中考数学模拟试题及答案解析
